Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9117 / 26287
↖ ↑ ↗
← S 72.967971°
W 79.837647°		 ← 357.83 m → S 72.967971°
W 79.826660°		 →
↑
357.80 m
↓
↑
357.80 m
↓
S 72.971189°
W 79.837647°		 ← 357.76 m →
128 017 m²		 S 72.971189°
W 79.826660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278244018554688 y=0.802230834960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278244018554688 × 215)
    floor (0.278244018554688 × 32768)
    floor (9117.5)     		tx = 9117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802230834960938 × 215)
    floor (0.802230834960938 × 32768)
    floor (26287.5)     		ty = 26287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9117 / 26287 ti = "15/9117/26287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9117/26287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9117 ÷ 215
    9117 ÷ 32768     		x = 0.278228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26287 ÷ 215
    26287 ÷ 32768     		y = 0.802215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278228759765625 × 2 - 1) × π
    -0.44354248046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39342980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802215576171875 × 2 - 1) × π
    -0.60443115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.89887646774966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39342980} λ = -1.39342980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89887646774966))-π/2
    2×atan(0.149736758827417)-π/2
    2×0.148632489093293-π/2
    0.297264978186586-1.57079632675     		φ = -1.27353135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39342980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.837647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27353135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.967971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9117 KachelY 26287 -1.39342980 -1.27353135 -79.837647 -72.967971
    Oben rechts KachelX + 1 9118 KachelY 26287 -1.39323805 -1.27353135 -79.826660 -72.967971
    Unten links KachelX 9117 KachelY + 1 26288 -1.39342980 -1.27358751 -79.837647 -72.971189
    Unten rechts KachelX + 1 9118 KachelY + 1 26288 -1.39323805 -1.27358751 -79.826660 -72.971189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27353135--1.27358751) × R
    5.61599999999718e-05 × 6371000     		dl = 357.79535999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27353135--1.27358751) × R
    5.61599999999718e-05 × 6371000     		dr = 357.79535999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39342980--1.39323805) × cos(-1.27353135) × R
    0.000191750000000157 × 0.29290623715554 × 6371000     		do = 357.825755879309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39342980--1.39323805) × cos(-1.27358751) × R
    0.000191750000000157 × 0.292852539805578 × 6371000     		du = 357.760157088974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27353135)-sin(-1.27358751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29290623715554-0.292852539805578)×R²
    abs(-1.39323805--1.39342980)×5.36973499625781e-05×R²
    0.000191750000000157×5.36973499625781e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.36973499625781e-05×40589641000000     		ar = 128016.659703539m²