Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9115 / 25659
↖ ↑ ↗
← S 70.826640°
W 79.859619°		 ← 401.20 m → S 70.826640°
W 79.848633°		 →
↑
401.18 m
↓
↑
401.18 m
↓
S 70.830248°
W 79.859619°		 ← 401.13 m →
160 939 m²		 S 70.830248°
W 79.848633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278182983398438 y=0.783065795898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278182983398438 × 215)
    floor (0.278182983398438 × 32768)
    floor (9115.5)     		tx = 9115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783065795898438 × 215)
    floor (0.783065795898438 × 32768)
    floor (25659.5)     		ty = 25659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9115 / 25659 ti = "15/9115/25659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9115/25659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9115 ÷ 215
    9115 ÷ 32768     		x = 0.278167724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25659 ÷ 215
    25659 ÷ 32768     		y = 0.783050537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278167724609375 × 2 - 1) × π
    -0.44366455078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39381329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783050537109375 × 2 - 1) × π
    -0.56610107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77845897590408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39381329} λ = -1.39381329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77845897590408))-π/2
    2×atan(0.168898223057088)-π/2
    2×0.167319132629353-π/2
    0.334638265258706-1.57079632675     		φ = -1.23615806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39381329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.859619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23615806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.826640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9115 KachelY 25659 -1.39381329 -1.23615806 -79.859619 -70.826640
    Oben rechts KachelX + 1 9116 KachelY 25659 -1.39362155 -1.23615806 -79.848633 -70.826640
    Unten links KachelX 9115 KachelY + 1 25660 -1.39381329 -1.23622103 -79.859619 -70.830248
    Unten rechts KachelX + 1 9116 KachelY + 1 25660 -1.39362155 -1.23622103 -79.848633 -70.830248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23615806--1.23622103) × R
    6.29700000001066e-05 × 6371000     		dl = 401.181870000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23615806--1.23622103) × R
    6.29700000001066e-05 × 6371000     		dr = 401.181870000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39381329--1.39362155) × cos(-1.23615806) × R
    0.000191739999999996 × 0.328427523803245 × 6371000     		do = 401.199029740803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39381329--1.39362155) × cos(-1.23622103) × R
    0.000191739999999996 × 0.328368046150018 × 6371000     		du = 401.126373294444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23615806)-sin(-1.23622103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328427523803245-0.328368046150018)×R²
    abs(-1.39362155--1.39381329)×5.94776532271135e-05×R²
    0.000191739999999996×5.94776532271135e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.94776532271135e-05×40589641000000     		ar = 160939.20282285m²