Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9113 / 9802
↖ ↑ ↗
← S 33.321348°
E 20.236817°		 ← 2 041.56 m → S 33.321348°
E 20.258789°		 →
↑
2 041.40 m
↓
↑
2 041.40 m
↓
S 33.339707°
E 20.236817°		 ← 2 041.13 m →
4 167 187 m²		 S 33.339707°
E 20.258789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556243896484375 y=0.598297119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556243896484375 × 214)
    floor (0.556243896484375 × 16384)
    floor (9113.5)     		tx = 9113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598297119140625 × 214)
    floor (0.598297119140625 × 16384)
    floor (9802.5)     		ty = 9802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9113 / 9802 ti = "14/9113/9802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9113/9802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9113 ÷ 214
    9113 ÷ 16384     		x = 0.55621337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9802 ÷ 214
    9802 ÷ 16384     		y = 0.5982666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55621337890625 × 2 - 1) × π
    0.1124267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35319908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5982666015625 × 2 - 1) × π
    -0.196533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.617427267106323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35319908} λ = 0.35319908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617427267106323))-π/2
    2×atan(0.539330206786875)-π/2
    2×0.494614541907093-π/2
    0.989229083814187-1.57079632675     		φ = -0.58156724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35319908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.236817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58156724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.321348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9113 KachelY 9802 0.35319908 -0.58156724 20.236817 -33.321348
    Oben rechts KachelX + 1 9114 KachelY 9802 0.35358257 -0.58156724 20.258789 -33.321348
    Unten links KachelX 9113 KachelY + 1 9803 0.35319908 -0.58188766 20.236817 -33.339707
    Unten rechts KachelX + 1 9114 KachelY + 1 9803 0.35358257 -0.58188766 20.258789 -33.339707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58156724--0.58188766) × R
    0.000320419999999988 × 6371000     		dl = 2041.39581999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58156724--0.58188766) × R
    0.000320419999999988 × 6371000     		dr = 2041.39581999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35319908-0.35358257) × cos(-0.58156724) × R
    0.000383489999999986 × 0.835602737955285 × 6371000     		do = 2041.55696793677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35319908-0.35358257) × cos(-0.58188766) × R
    0.000383489999999986 × 0.835426677398394 × 6371000     		du = 2041.12681418024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58156724)-sin(-0.58188766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835602737955285-0.835426677398394)×R²
    abs(0.35358257-0.35319908)×0.000176060556891566×R²
    0.000383489999999986×0.000176060556891566×6371000²
    0.000383489999999986×0.000176060556891566×40589641000000     		ar = 4167186.83925138m²