Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9113 / 26295
↖ ↑ ↗
← S 72.993696°
W 79.881592°		 ← 357.30 m → S 72.993696°
W 79.870605°		 →
↑
357.29 m
↓
↑
357.29 m
↓
S 72.996909°
W 79.881592°		 ← 357.24 m →
127 647 m²		 S 72.996909°
W 79.870605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278121948242188 y=0.802474975585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278121948242188 × 215)
    floor (0.278121948242188 × 32768)
    floor (9113.5)     		tx = 9113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802474975585938 × 215)
    floor (0.802474975585938 × 32768)
    floor (26295.5)     		ty = 26295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9113 / 26295 ti = "15/9113/26295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9113/26295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9113 ÷ 215
    9113 ÷ 32768     		x = 0.278106689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26295 ÷ 215
    26295 ÷ 32768     		y = 0.802459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278106689453125 × 2 - 1) × π
    -0.44378662109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39419679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.60491943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90041044853751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39419679} λ = -1.39419679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90041044853751))-π/2
    2×atan(0.149507241598658)-π/2
    2×0.148407997501004-π/2
    0.296815995002007-1.57079632675     		φ = -1.27398033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39419679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.881592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27398033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.993696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9113 KachelY 26295 -1.39419679 -1.27398033 -79.881592 -72.993696
    Oben rechts KachelX + 1 9114 KachelY 26295 -1.39400504 -1.27398033 -79.870605 -72.993696
    Unten links KachelX 9113 KachelY + 1 26296 -1.39419679 -1.27403641 -79.881592 -72.996909
    Unten rechts KachelX + 1 9114 KachelY + 1 26296 -1.39400504 -1.27403641 -79.870605 -72.996909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27398033--1.27403641) × R
    5.60799999997919e-05 × 6371000     		dl = 357.285679998674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27398033--1.27403641) × R
    5.60799999997919e-05 × 6371000     		dr = 357.285679998674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39419679--1.39400504) × cos(-1.27398033) × R
    0.000191750000000157 × 0.292476919385164 × 6371000     		do = 357.301284440295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39419679--1.39400504) × cos(-1.27403641) × R
    0.000191750000000157 × 0.292423291158863 × 6371000     		du = 357.235770094138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27398033)-sin(-1.27403641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292476919385164-0.292423291158863)×R²
    abs(-1.39400504--1.39419679)×5.36282263011723e-05×R²
    0.000191750000000157×5.36282263011723e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.36282263011723e-05×40589641000000     		ar = 127646.928740187m²