Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9112 / 26328
↖ ↑ ↗
← S 73.099413°
W 79.892578°		 ← 355.15 m → S 73.099413°
W 79.881592°		 →
↑
355.12 m
↓
↑
355.12 m
↓
S 73.102607°
W 79.892578°		 ← 355.08 m →
126 107 m²		 S 73.102607°
W 79.881592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278091430664062 y=0.803482055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278091430664062 × 215)
    floor (0.278091430664062 × 32768)
    floor (9112.5)     		tx = 9112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803482055664062 × 215)
    floor (0.803482055664062 × 32768)
    floor (26328.5)     		ty = 26328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9112 / 26328 ti = "15/9112/26328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9112/26328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9112 ÷ 215
    9112 ÷ 32768     		x = 0.278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26328 ÷ 215
    26328 ÷ 32768     		y = 0.803466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278076171875 × 2 - 1) × π
    -0.44384765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39438854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803466796875 × 2 - 1) × π
    -0.60693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90673811928735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39438854} λ = -1.39438854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90673811928735))-π/2
    2×atan(0.148564195787383)-π/2
    2×0.147485443201171-π/2
    0.294970886402342-1.57079632675     		φ = -1.27582544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39438854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.892578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27582544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.099413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9112 KachelY 26328 -1.39438854 -1.27582544 -79.892578 -73.099413
    Oben rechts KachelX + 1 9113 KachelY 26328 -1.39419679 -1.27582544 -79.881592 -73.099413
    Unten links KachelX 9112 KachelY + 1 26329 -1.39438854 -1.27588118 -79.892578 -73.102607
    Unten rechts KachelX + 1 9113 KachelY + 1 26329 -1.39419679 -1.27588118 -79.881592 -73.102607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27582544--1.27588118) × R
    5.57400000000818e-05 × 6371000     		dl = 355.119540000521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27582544--1.27588118) × R
    5.57400000000818e-05 × 6371000     		dr = 355.119540000521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39438854--1.39419679) × cos(-1.27582544) × R
    0.000191749999999935 × 0.290711994423421 × 6371000     		do = 355.145182833313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39438854--1.39419679) × cos(-1.27588118) × R
    0.000191749999999935 × 0.290658661348641 × 6371000     		du = 355.080029055838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27582544)-sin(-1.27588118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290711994423421-0.290658661348641)×R²
    abs(-1.39419679--1.39438854)×5.33330747802263e-05×R²
    0.000191749999999935×5.33330747802263e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.33330747802263e-05×40589641000000     		ar = 126107.425303821m²