Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 911 / 567
↖ ↑ ↗
← N 62.349609°
W 19.863281°		 ← 9 070.80 m → N 62.349609°
W 19.687500°		 →
↑
9 083.13 m
↓
↑
9 083.13 m
↓
N 62.267923°
W 19.863281°		 ← 9 095.48 m →
82 503 398 m²		 N 62.267923°
W 19.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445068359375 y=0.277099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445068359375 × 211)
    floor (0.445068359375 × 2048)
    floor (911.5)     		tx = 911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277099609375 × 211)
    floor (0.277099609375 × 2048)
    floor (567.5)     		ty = 567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 911 / 567 ti = "11/911/567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/911/567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 911 ÷ 211
    911 ÷ 2048     		x = 0.44482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 567 ÷ 211
    567 ÷ 2048     		y = 0.27685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44482421875 × 2 - 1) × π
    -0.1103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34667966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27685546875 × 2 - 1) × π
    0.4462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4020584400874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34667966} λ = -0.34667966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4020584400874))-π/2
    2×atan(4.06355595021395)-π/2
    2×1.3295011479849-π/2
    2.65900229596979-1.57079632675     		φ = 1.08820597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34667966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.863281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08820597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.349609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 911 KachelY 567 -0.34667966 1.08820597 -19.863281 62.349609
    Oben rechts KachelX + 1 912 KachelY 567 -0.34361170 1.08820597 -19.687500 62.349609
    Unten links KachelX 911 KachelY + 1 568 -0.34667966 1.08678027 -19.863281 62.267923
    Unten rechts KachelX + 1 912 KachelY + 1 568 -0.34361170 1.08678027 -19.687500 62.267923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08820597-1.08678027) × R
    0.00142569999999997 × 6371000     		dl = 9083.13469999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08820597-1.08678027) × R
    0.00142569999999997 × 6371000     		dr = 9083.13469999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34667966--0.34361170) × cos(1.08820597) × R
    0.00306795999999998 × 0.464075257040907 × 6371000     		do = 9070.80251834162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34667966--0.34361170) × cos(1.08678027) × R
    0.00306795999999998 × 0.46533766400578 × 6371000     		du = 9095.47749099402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08820597)-sin(1.08678027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464075257040907-0.46533766400578)×R²
    abs(-0.34361170--0.34667966)×0.00126240696487301×R²
    0.00306795999999998×0.00126240696487301×6371000²
    0.00306795999999998×0.00126240696487301×40589641000000     		ar = 82503398.1361986m²