Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9106 / 9874
↖ ↑ ↗
← S 34.633208°
E 20.083008°		 ← 2 010.35 m → S 34.633208°
E 20.104981°		 →
↑
2 010.11 m
↓
↑
2 010.11 m
↓
S 34.651285°
E 20.083008°		 ← 2 009.91 m →
4 040 587 m²		 S 34.651285°
E 20.104981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555816650390625 y=0.602691650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555816650390625 × 214)
    floor (0.555816650390625 × 16384)
    floor (9106.5)     		tx = 9106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602691650390625 × 214)
    floor (0.602691650390625 × 16384)
    floor (9874.5)     		ty = 9874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9106 / 9874 ti = "14/9106/9874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9106/9874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9106 ÷ 214
    9106 ÷ 16384     		x = 0.5557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9874 ÷ 214
    9874 ÷ 16384     		y = 0.6026611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5557861328125 × 2 - 1) × π
    0.111572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35051461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6026611328125 × 2 - 1) × π
    -0.205322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.645038921287476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35051461} λ = 0.35051461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.645038921287476))-π/2
    2×atan(0.524642121962356)-π/2
    2×0.483166409114372-π/2
    0.966332818228744-1.57079632675     		φ = -0.60446351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35051461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.083008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60446351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.633208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9106 KachelY 9874 0.35051461 -0.60446351 20.083008 -34.633208
    Oben rechts KachelX + 1 9107 KachelY 9874 0.35089811 -0.60446351 20.104981 -34.633208
    Unten links KachelX 9106 KachelY + 1 9875 0.35051461 -0.60477902 20.083008 -34.651285
    Unten rechts KachelX + 1 9107 KachelY + 1 9875 0.35089811 -0.60477902 20.104981 -34.651285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60446351--0.60477902) × R
    0.000315509999999963 × 6371000     		dl = 2010.11420999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60446351--0.60477902) × R
    0.000315509999999963 × 6371000     		dr = 2010.11420999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35051461-0.35089811) × cos(-0.60446351) × R
    0.000383499999999981 × 0.822807114417136 × 6371000     		do = 2010.34693230233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35051461-0.35089811) × cos(-0.60477902) × R
    0.000383499999999981 × 0.822627762592692 × 6371000     		du = 2009.90872584573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60446351)-sin(-0.60477902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822807114417136-0.822627762592692)×R²
    abs(0.35089811-0.35051461)×0.000179351824443841×R²
    0.000383499999999981×0.000179351824443841×6371000²
    0.000383499999999981×0.000179351824443841×40589641000000     		ar = 4040586.54665619m²