Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9105 / 7047
↖ ↑ ↗
← N 80.291445°
W129.984741°		 ← 103 m → N 80.291445°
W129.979248°		 →
↑
102.96 m
↓
↑
102.96 m
↓
N 80.290519°
W129.984741°		 ← 103.01 m →
10 605 m²		 N 80.290519°
W129.979248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138938903808594 y=0.107536315917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138938903808594 × 216)
    floor (0.138938903808594 × 65536)
    floor (9105.5)     		tx = 9105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107536315917969 × 216)
    floor (0.107536315917969 × 65536)
    floor (7047.5)     		ty = 7047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9105 / 7047 ti = "16/9105/7047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9105/7047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9105 ÷ 216
    9105 ÷ 65536     		x = 0.138931274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7047 ÷ 216
    7047 ÷ 65536     		y = 0.107528686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138931274414062 × 2 - 1) × π
    -0.722137451171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.26866171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107528686523438 × 2 - 1) × π
    0.784942626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46596999025493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26866171} λ = -2.26866171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46596999025493))-π/2
    2×atan(11.7748981508405)-π/2
    2×1.48607320035431-π/2
    2.97214640070861-1.57079632675     		φ = 1.40135007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26866171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.984741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40135007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.291445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9105 KachelY 7047 -2.26866171 1.40135007 -129.984741 80.291445
    Oben rechts KachelX + 1 9106 KachelY 7047 -2.26856584 1.40135007 -129.979248 80.291445
    Unten links KachelX 9105 KachelY + 1 7048 -2.26866171 1.40133391 -129.984741 80.290519
    Unten rechts KachelX + 1 9106 KachelY + 1 7048 -2.26856584 1.40133391 -129.979248 80.290519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40135007-1.40133391) × R
    1.61599999999318e-05 × 6371000     		dl = 102.955359999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40135007-1.40133391) × R
    1.61599999999318e-05 × 6371000     		dr = 102.955359999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26866171--2.26856584) × cos(1.40135007) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168636562288837 × 6371000     		do = 103.001149820862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26866171--2.26856584) × cos(1.40133391) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168652490828134 × 6371000     		du = 103.010878777859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40135007)-sin(1.40133391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168636562288837-0.168652490828134)×R²
    abs(-2.26856584--2.26866171)×1.59285392977992e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59285392977992e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59285392977992e-05×40589641000000     		ar = 10605.021284542m²