Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9105 / 25645
↖ ↑ ↗
← S 70.776061°
W 79.969482°		 ← 402.24 m → S 70.776061°
W 79.958496°		 →
↑
402.20 m
↓
↑
402.20 m
↓
S 70.779678°
W 79.969482°		 ← 402.17 m →
161 766 m²		 S 70.779678°
W 79.958496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277877807617188 y=0.782638549804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277877807617188 × 215)
    floor (0.277877807617188 × 32768)
    floor (9105.5)     		tx = 9105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782638549804688 × 215)
    floor (0.782638549804688 × 32768)
    floor (25645.5)     		ty = 25645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9105 / 25645 ti = "15/9105/25645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9105/25645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9105 ÷ 215
    9105 ÷ 32768     		x = 0.277862548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25645 ÷ 215
    25645 ÷ 32768     		y = 0.782623291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277862548828125 × 2 - 1) × π
    -0.44427490234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39573077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782623291015625 × 2 - 1) × π
    -0.56524658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77577450952536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39573077} λ = -1.39573077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77577450952536))-π/2
    2×atan(0.169352233773916)-π/2
    2×0.167760518235602-π/2
    0.335521036471204-1.57079632675     		φ = -1.23527529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39573077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.969482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23527529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.776061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9105 KachelY 25645 -1.39573077 -1.23527529 -79.969482 -70.776061
    Oben rechts KachelX + 1 9106 KachelY 25645 -1.39553902 -1.23527529 -79.958496 -70.776061
    Unten links KachelX 9105 KachelY + 1 25646 -1.39573077 -1.23533842 -79.969482 -70.779678
    Unten rechts KachelX + 1 9106 KachelY + 1 25646 -1.39553902 -1.23533842 -79.958496 -70.779678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23527529--1.23533842) × R
    6.31300000000223e-05 × 6371000     		dl = 402.201230000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23527529--1.23533842) × R
    6.31300000000223e-05 × 6371000     		dr = 402.201230000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39573077--1.39553902) × cos(-1.23527529) × R
    0.000191749999999935 × 0.329261197745419 × 6371000     		do = 402.238402667679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39573077--1.39553902) × cos(-1.23533842) × R
    0.000191749999999935 × 0.329201587288807 × 6371000     		du = 402.165580194172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23527529)-sin(-1.23533842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329261197745419-0.329201587288807)×R²
    abs(-1.39553902--1.39573077)×5.96104566117361e-05×R²
    0.000191749999999935×5.96104566117361e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.96104566117361e-05×40589641000000     		ar = 161766.1357156m²