Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9103 / 26245
↖ ↑ ↗
← S 72.832295°
W 79.991455°		 ← 360.57 m → S 72.832295°
W 79.980469°		 →
↑
360.60 m
↓
↑
360.60 m
↓
S 72.835538°
W 79.991455°		 ← 360.51 m →
130 010 m²		 S 72.835538°
W 79.980469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277816772460938 y=0.800949096679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277816772460938 × 215)
    floor (0.277816772460938 × 32768)
    floor (9103.5)     		tx = 9103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800949096679688 × 215)
    floor (0.800949096679688 × 32768)
    floor (26245.5)     		ty = 26245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9103 / 26245 ti = "15/9103/26245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9103/26245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9103 ÷ 215
    9103 ÷ 32768     		x = 0.277801513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26245 ÷ 215
    26245 ÷ 32768     		y = 0.800933837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.44439697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39611426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800933837890625 × 2 - 1) × π
    -0.60186767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.89082306861349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39611426} λ = -1.39611426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89082306861349))-π/2
    2×atan(0.150947517529287)-π/2
    2×0.149816486065667-π/2
    0.299632972131334-1.57079632675     		φ = -1.27116335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39611426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.991455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27116335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.832295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9103 KachelY 26245 -1.39611426 -1.27116335 -79.991455 -72.832295
    Oben rechts KachelX + 1 9104 KachelY 26245 -1.39592252 -1.27116335 -79.980469 -72.832295
    Unten links KachelX 9103 KachelY + 1 26246 -1.39611426 -1.27121995 -79.991455 -72.835538
    Unten rechts KachelX + 1 9104 KachelY + 1 26246 -1.39592252 -1.27121995 -79.980469 -72.835538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27116335--1.27121995) × R
    5.66000000001843e-05 × 6371000     		dl = 360.598600001174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27116335--1.27121995) × R
    5.66000000001843e-05 × 6371000     		dr = 360.598600001174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39611426--1.39592252) × cos(-1.27116335) × R
    0.000191739999999996 × 0.295169556104843 × 6371000     		do = 360.571909890327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39611426--1.39592252) × cos(-1.27121995) × R
    0.000191739999999996 × 0.29511547745144 × 6371000     		du = 360.505848730093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27116335)-sin(-1.27121995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295169556104843-0.29511547745144)×R²
    abs(-1.39592252--1.39611426)×5.40786534033999e-05×R²
    0.000191739999999996×5.40786534033999e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.40786534033999e-05×40589641000000     		ar = 130009.815159719m²