Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9100 / 26291
↖ ↑ ↗
← S 72.980838°
W 80.024414°		 ← 357.56 m → S 72.980838°
W 80.013428°		 →
↑
357.54 m
↓
↑
357.54 m
↓
S 72.984054°
W 80.024414°		 ← 357.50 m →
127 832 m²		 S 72.984054°
W 80.013428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277725219726562 y=0.802352905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277725219726562 × 215)
    floor (0.277725219726562 × 32768)
    floor (9100.5)     		tx = 9100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802352905273438 × 215)
    floor (0.802352905273438 × 32768)
    floor (26291.5)     		ty = 26291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9100 / 26291 ti = "15/9100/26291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9100/26291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9100 ÷ 215
    9100 ÷ 32768     		x = 0.2777099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26291 ÷ 215
    26291 ÷ 32768     		y = 0.802337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.444580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39668951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802337646484375 × 2 - 1) × π
    -0.60467529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89964345814359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39668951} λ = -1.39668951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89964345814359))-π/2
    2×atan(0.149621956203662)-π/2
    2×0.148520202136531-π/2
    0.297040404273063-1.57079632675     		φ = -1.27375592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39668951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.024414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27375592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.980838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9100 KachelY 26291 -1.39668951 -1.27375592 -80.024414 -72.980838
    Oben rechts KachelX + 1 9101 KachelY 26291 -1.39649776 -1.27375592 -80.013428 -72.980838
    Unten links KachelX 9100 KachelY + 1 26292 -1.39668951 -1.27381204 -80.024414 -72.984054
    Unten rechts KachelX + 1 9101 KachelY + 1 26292 -1.39649776 -1.27381204 -80.013428 -72.984054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27375592--1.27381204) × R
    5.61199999999928e-05 × 6371000     		dl = 357.540519999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27375592--1.27381204) × R
    5.61199999999928e-05 × 6371000     		dr = 357.540519999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39668951--1.39649776) × cos(-1.27375592) × R
    0.000191750000000157 × 0.292691509149007 × 6371000     		do = 357.563435718454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39668951--1.39649776) × cos(-1.27381204) × R
    0.000191750000000157 × 0.292637846355581 × 6371000     		du = 357.49787914374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27375592)-sin(-1.27381204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292691509149007-0.292637846355581)×R²
    abs(-1.39649776--1.39668951)×5.36627934256684e-05×R²
    0.000191750000000157×5.36627934256684e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.36627934256684e-05×40589641000000     		ar = 127831.697207477m²