Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 910 / 565
↖ ↑ ↗
← N 62.512318°
W 20.039063°		 ← 9 021.60 m → N 62.512318°
W 19.863281°		 →
↑
9 033.89 m
↓
↑
9 033.89 m
↓
N 62.431074°
W 20.039063°		 ← 9 046.18 m →
81 611 130 m²		 N 62.431074°
W 19.863281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444580078125 y=0.276123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444580078125 × 211)
    floor (0.444580078125 × 2048)
    floor (910.5)     		tx = 910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276123046875 × 211)
    floor (0.276123046875 × 2048)
    floor (565.5)     		ty = 565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 910 / 565 ti = "11/910/565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/910/565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 910 ÷ 211
    910 ÷ 2048     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 565 ÷ 211
    565 ÷ 2048     		y = 0.27587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27587890625 × 2 - 1) × π
    0.4482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40819436323877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40819436323877))-π/2
    2×atan(4.08856626947534)-π/2
    2×1.33092104892734-π/2
    2.66184209785468-1.57079632675     		φ = 1.09104577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09104577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.512318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 910 KachelY 565 -0.34974762 1.09104577 -20.039063 62.512318
    Oben rechts KachelX + 1 911 KachelY 565 -0.34667966 1.09104577 -19.863281 62.512318
    Unten links KachelX 910 KachelY + 1 566 -0.34974762 1.08962780 -20.039063 62.431074
    Unten rechts KachelX + 1 911 KachelY + 1 566 -0.34667966 1.08962780 -19.863281 62.431074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09104577-1.08962780) × R
    0.0014179700000001 × 6371000     		dl = 9033.88687000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09104577-1.08962780) × R
    0.0014179700000001 × 6371000     		dr = 9033.88687000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34667966) × cos(1.09104577) × R
    0.00306795999999998 × 0.461557906320937 × 6371000     		do = 9021.59844873478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34667966) × cos(1.08962780) × R
    0.00306795999999998 × 0.462815337370534 × 6371000     		du = 9046.17616228075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09104577)-sin(1.08962780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461557906320937-0.462815337370534)×R²
    abs(-0.34667966--0.34974762)×0.00125743104959719×R²
    0.00306795999999998×0.00125743104959719×6371000²
    0.00306795999999998×0.00125743104959719×40589641000000     		ar = 81611129.5885008m²