Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 91 / 109
↖ ↑ ↗
← N 25.799891°
W 52.031250°		 ← 140.781 km → N 25.799891°
W 50.625000°		 →
↑
141.524 km
↓
↑
141.524 km
↓
N 24.527135°
W 52.031250°		 ← 142.258 km →
20 029.2 km²		 N 24.527135°
W 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 91 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357421875 y=0.427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357421875 × 28)
    floor (0.357421875 × 256)
    floor (91.5)     		tx = 91
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427734375 × 28)
    floor (0.427734375 × 256)
    floor (109.5)     		ty = 109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 91 / 109 ti = "8/91/109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/91/109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 91 ÷ 28
    91 ÷ 256     		x = 0.35546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 109 ÷ 28
    109 ÷ 256     		y = 0.42578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35546875 × 2 - 1) × π
    -0.2890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.90811663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42578125 × 2 - 1) × π
    0.1484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.466330159503906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90811663} λ = -0.90811663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466330159503906))-π/2
    2×atan(1.59413323071017)-π/2
    2×1.01054468728329-π/2
    2.02108937456659-1.57079632675     		φ = 0.45029305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90811663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45029305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.799891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 91 KachelY 109 -0.90811663 0.45029305 -52.031250 25.799891
    Oben rechts KachelX + 1 92 KachelY 109 -0.88357293 0.45029305 -50.625000 25.799891
    Unten links KachelX 91 KachelY + 1 110 -0.90811663 0.42807926 -52.031250 24.527135
    Unten rechts KachelX + 1 92 KachelY + 1 110 -0.88357293 0.42807926 -50.625000 24.527135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45029305-0.42807926) × R
    0.02221379 × 6371000     		dl = 141524.05609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45029305-0.42807926) × R
    0.02221379 × 6371000     		dr = 141524.05609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90811663--0.88357293) × cos(0.45029305) × R
    0.0245436999999999 × 0.900319597040296 × 6371000     		do = 140781.096152096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90811663--0.88357293) × cos(0.42807926) × R
    0.0245436999999999 × 0.909764772910752 × 6371000     		du = 142258.018588043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45029305)-sin(0.42807926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900319597040296-0.909764772910752)×R²
    abs(-0.88357293--0.90811663)×0.00944517587045568×R²
    0.0245436999999999×0.00944517587045568×6371000²
    0.0245436999999999×0.00944517587045568×40589641000000     		ar = 20029245405.2258m²