Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9099 / 26216
↖ ↑ ↗
← S 72.738003°
W 80.035400°		 ← 362.49 m → S 72.738003°
W 80.024414°		 →
↑
362.51 m
↓
↑
362.51 m
↓
S 72.741263°
W 80.035400°		 ← 362.43 m →
131 395 m²		 S 72.741263°
W 80.024414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277694702148438 y=0.800064086914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277694702148438 × 215)
    floor (0.277694702148438 × 32768)
    floor (9099.5)     		tx = 9099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800064086914062 × 215)
    floor (0.800064086914062 × 32768)
    floor (26216.5)     		ty = 26216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9099 / 26216 ti = "15/9099/26216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9099/26216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9099 ÷ 215
    9099 ÷ 32768     		x = 0.277679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26216 ÷ 215
    26216 ÷ 32768     		y = 0.800048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.44464111328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39688125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800048828125 × 2 - 1) × π
    -0.60009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88526238825757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39688125} λ = -1.39688125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88526238825757))-π/2
    2×atan(0.151789226493155)-π/2
    2×0.150639341407696-π/2
    0.301278682815391-1.57079632675     		φ = -1.26951764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39688125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.035400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26951764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.738003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9099 KachelY 26216 -1.39688125 -1.26951764 -80.035400 -72.738003
    Oben rechts KachelX + 1 9100 KachelY 26216 -1.39668951 -1.26951764 -80.024414 -72.738003
    Unten links KachelX 9099 KachelY + 1 26217 -1.39688125 -1.26957454 -80.035400 -72.741263
    Unten rechts KachelX + 1 9100 KachelY + 1 26217 -1.39668951 -1.26957454 -80.024414 -72.741263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26951764--1.26957454) × R
    5.69000000001374e-05 × 6371000     		dl = 362.509900000875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26951764--1.26957454) × R
    5.69000000001374e-05 × 6371000     		dr = 362.509900000875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39688125--1.39668951) × cos(-1.26951764) × R
    0.000191739999999996 × 0.296741540888145 × 6371000     		do = 362.49220805086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39688125--1.39668951) × cos(-1.26957454) × R
    0.000191739999999996 × 0.296687203307256 × 6371000     		du = 362.425830591143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26951764)-sin(-1.26957454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296741540888145-0.296687203307256)×R²
    abs(-1.39668951--1.39688125)×5.43375808892965e-05×R²
    0.000191739999999996×5.43375808892965e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.43375808892965e-05×40589641000000     		ar = 131394.982883624m²