Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9099 / 11989
↖ ↑ ↗
← S 63.753350°
E 19.929199°		 ← 1 080.51 m → S 63.753350°
E 19.951172°		 →
↑
1 080.33 m
↓
↑
1 080.33 m
↓
S 63.763065°
E 19.929199°		 ← 1 080.13 m →
1 167 103 m²		 S 63.763065°
E 19.951172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555389404296875 y=0.731781005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555389404296875 × 214)
    floor (0.555389404296875 × 16384)
    floor (9099.5)     		tx = 9099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731781005859375 × 214)
    floor (0.731781005859375 × 16384)
    floor (11989.5)     		ty = 11989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9099 / 11989 ti = "14/9099/11989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9099/11989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9099 ÷ 214
    9099 ÷ 16384     		x = 0.55535888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11989 ÷ 214
    11989 ÷ 16384     		y = 0.73175048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55535888671875 × 2 - 1) × π
    0.1107177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.34783014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73175048828125 × 2 - 1) × π
    -0.4635009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45613126285883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34783014} λ = 0.34783014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45613126285883))-π/2
    2×atan(0.23313647602965)-π/2
    2×0.229045232234336-π/2
    0.458090464468672-1.57079632675     		φ = -1.11270586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34783014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.929199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11270586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.753350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9099 KachelY 11989 0.34783014 -1.11270586 19.929199 -63.753350
    Oben rechts KachelX + 1 9100 KachelY 11989 0.34821364 -1.11270586 19.951172 -63.753350
    Unten links KachelX 9099 KachelY + 1 11990 0.34783014 -1.11287543 19.929199 -63.763065
    Unten rechts KachelX + 1 9100 KachelY + 1 11990 0.34821364 -1.11287543 19.951172 -63.763065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11270586--1.11287543) × R
    0.000169570000000174 × 6371000     		dl = 1080.33047000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11270586--1.11287543) × R
    0.000169570000000174 × 6371000     		dr = 1080.33047000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34783014-0.34821364) × cos(-1.11270586) × R
    0.000383499999999981 × 0.44223625662028 × 6371000     		do = 1080.50633772076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34783014-0.34821364) × cos(-1.11287543) × R
    0.000383499999999981 × 0.442084163167885 × 6371000     		du = 1080.13473105853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11270586)-sin(-1.11287543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44223625662028-0.442084163167885)×R²
    abs(0.34821364-0.34783014)×0.000152093452394753×R²
    0.000383499999999981×0.000152093452394753×6371000²
    0.000383499999999981×0.000152093452394753×40589641000000     		ar = 1167103.19346542m²