Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9098 / 26334
↖ ↑ ↗
← S 73.118566°
W 80.046387°		 ← 354.75 m → S 73.118566°
W 80.035400°		 →
↑
354.67 m
↓
↑
354.67 m
↓
S 73.121756°
W 80.046387°		 ← 354.69 m →
125 810 m²		 S 73.121756°
W 80.035400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277664184570312 y=0.803665161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277664184570312 × 215)
    floor (0.277664184570312 × 32768)
    floor (9098.5)     		tx = 9098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803665161132812 × 215)
    floor (0.803665161132812 × 32768)
    floor (26334.5)     		ty = 26334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9098 / 26334 ti = "15/9098/26334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9098/26334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9098 ÷ 215
    9098 ÷ 32768     		x = 0.27764892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26334 ÷ 215
    26334 ÷ 32768     		y = 0.80364990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27764892578125 × 2 - 1) × π
    -0.4447021484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39707300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80364990234375 × 2 - 1) × π
    -0.6072998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90788860487823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39707300} λ = -1.39707300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90788860487823))-π/2
    2×atan(0.148393373104169)-π/2
    2×0.147318305233511-π/2
    0.294636610467021-1.57079632675     		φ = -1.27615972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39707300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.046387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27615972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.118566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9098 KachelY 26334 -1.39707300 -1.27615972 -80.046387 -73.118566
    Oben rechts KachelX + 1 9099 KachelY 26334 -1.39688125 -1.27615972 -80.035400 -73.118566
    Unten links KachelX 9098 KachelY + 1 26335 -1.39707300 -1.27621539 -80.046387 -73.121756
    Unten rechts KachelX + 1 9099 KachelY + 1 26335 -1.39688125 -1.27621539 -80.035400 -73.121756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27615972--1.27621539) × R
    5.56699999998411e-05 × 6371000     		dl = 354.673569998988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27615972--1.27621539) × R
    5.56699999998411e-05 × 6371000     		dr = 354.673569998988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39707300--1.39688125) × cos(-1.27615972) × R
    0.000191749999999935 × 0.290392135537377 × 6371000     		do = 354.754430663659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39707300--1.39688125) × cos(-1.27621539) × R
    0.000191749999999935 × 0.290338864033978 × 6371000     		du = 354.689352104201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27615972)-sin(-1.27621539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290392135537377-0.290338864033978)×R²
    abs(-1.39688125--1.39707300)×5.32715033986775e-05×R²
    0.000191749999999935×5.32715033986775e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.32715033986775e-05×40589641000000     		ar = 125810.479606387m²