Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9098 / 26292
↖ ↑ ↗
← S 72.984054°
W 80.046387°		 ← 357.50 m → S 72.984054°
W 80.035400°		 →
↑
357.48 m
↓
↑
357.48 m
↓
S 72.987269°
W 80.046387°		 ← 357.43 m →
127 785 m²		 S 72.987269°
W 80.035400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277664184570312 y=0.802383422851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277664184570312 × 215)
    floor (0.277664184570312 × 32768)
    floor (9098.5)     		tx = 9098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802383422851562 × 215)
    floor (0.802383422851562 × 32768)
    floor (26292.5)     		ty = 26292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9098 / 26292 ti = "15/9098/26292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9098/26292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9098 ÷ 215
    9098 ÷ 32768     		x = 0.27764892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26292 ÷ 215
    26292 ÷ 32768     		y = 0.8023681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27764892578125 × 2 - 1) × π
    -0.4447021484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39707300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8023681640625 × 2 - 1) × π
    -0.604736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.89983520574207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39707300} λ = -1.39707300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89983520574207))-π/2
    2×atan(0.14959326930329)-π/2
    2×0.148492143262171-π/2
    0.296984286524342-1.57079632675     		φ = -1.27381204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39707300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.046387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27381204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.984054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9098 KachelY 26292 -1.39707300 -1.27381204 -80.046387 -72.984054
    Oben rechts KachelX + 1 9099 KachelY 26292 -1.39688125 -1.27381204 -80.035400 -72.984054
    Unten links KachelX 9098 KachelY + 1 26293 -1.39707300 -1.27386815 -80.046387 -72.987269
    Unten rechts KachelX + 1 9099 KachelY + 1 26293 -1.39688125 -1.27386815 -80.035400 -72.987269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27381204--1.27386815) × R
    5.61100000000536e-05 × 6371000     		dl = 357.476810000342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27381204--1.27386815) × R
    5.61100000000536e-05 × 6371000     		dr = 357.476810000342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39707300--1.39688125) × cos(-1.27381204) × R
    0.000191749999999935 × 0.292637846355581 × 6371000     		do = 357.497879143326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39707300--1.39688125) × cos(-1.27386815) × R
    0.000191749999999935 × 0.292584192202904 × 6371000     		du = 357.43233312449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27381204)-sin(-1.27386815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292637846355581-0.292584192202904)×R²
    abs(-1.39688125--1.39707300)×5.36541526776069e-05×R²
    0.000191749999999935×5.36541526776069e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.36541526776069e-05×40589641000000     		ar = 127785.485860967m²