Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9097 / 26222
↖ ↑ ↗
← S 72.757553°
W 80.057373°		 ← 362.11 m → S 72.757553°
W 80.046387°		 →
↑
362.13 m
↓
↑
362.13 m
↓
S 72.760809°
W 80.057373°		 ← 362.05 m →
131 119 m²		 S 72.760809°
W 80.046387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277633666992188 y=0.800247192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277633666992188 × 215)
    floor (0.277633666992188 × 32768)
    floor (9097.5)     		tx = 9097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800247192382812 × 215)
    floor (0.800247192382812 × 32768)
    floor (26222.5)     		ty = 26222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9097 / 26222 ti = "15/9097/26222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9097/26222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9097 ÷ 215
    9097 ÷ 32768     		x = 0.277618408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26222 ÷ 215
    26222 ÷ 32768     		y = 0.80023193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277618408203125 × 2 - 1) × π
    -0.44476318359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39726475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80023193359375 × 2 - 1) × π
    -0.6004638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88641287384845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39726475} λ = -1.39726475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88641287384845))-π/2
    2×atan(0.151614695592118)-π/2
    2×0.150468736715573-π/2
    0.300937473431146-1.57079632675     		φ = -1.26985885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39726475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.057373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26985885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.757553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9097 KachelY 26222 -1.39726475 -1.26985885 -80.057373 -72.757553
    Oben rechts KachelX + 1 9098 KachelY 26222 -1.39707300 -1.26985885 -80.046387 -72.757553
    Unten links KachelX 9097 KachelY + 1 26223 -1.39726475 -1.26991569 -80.057373 -72.760809
    Unten rechts KachelX + 1 9098 KachelY + 1 26223 -1.39707300 -1.26991569 -80.046387 -72.760809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26985885--1.26991569) × R
    5.68399999998359e-05 × 6371000     		dl = 362.127639998955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26985885--1.26991569) × R
    5.68399999998359e-05 × 6371000     		dr = 362.127639998955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39726475--1.39707300) × cos(-1.26985885) × R
    0.000191749999999935 × 0.296415682459187 × 6371000     		do = 362.113032007557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39726475--1.39707300) × cos(-1.26991569) × R
    0.000191749999999935 × 0.296361396425349 × 6371000     		du = 362.046714057894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26985885)-sin(-1.26991569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296415682459187-0.296361396425349)×R²
    abs(-1.39707300--1.39726475)×5.42860338376694e-05×R²
    0.000191749999999935×5.42860338376694e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.42860338376694e-05×40589641000000     		ar = 131119.129948352m²