Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9096 / 7048
↖ ↑ ↗
← N 80.290519°
W130.034180°		 ← 103.02 m → N 80.290519°
W130.028686°		 →
↑
103.02 m
↓
↑
103.02 m
↓
N 80.289592°
W130.034180°		 ← 103.03 m →
10 614 m²		 N 80.289592°
W130.028686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138801574707031 y=0.107551574707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138801574707031 × 216)
    floor (0.138801574707031 × 65536)
    floor (9096.5)     		tx = 9096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107551574707031 × 216)
    floor (0.107551574707031 × 65536)
    floor (7048.5)     		ty = 7048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9096 / 7048 ti = "16/9096/7048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9096/7048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9096 ÷ 216
    9096 ÷ 65536     		x = 0.1387939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7048 ÷ 216
    7048 ÷ 65536     		y = 0.1075439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1387939453125 × 2 - 1) × π
    -0.722412109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.26952458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1075439453125 × 2 - 1) × π
    0.784912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46587411645569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26952458} λ = -2.26952458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46587411645569))-π/2
    2×atan(11.7737693007336)-π/2
    2×1.48606511605855-π/2
    2.97213023211711-1.57079632675     		φ = 1.40133391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26952458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.034180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40133391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.290519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9096 KachelY 7048 -2.26952458 1.40133391 -130.034180 80.290519
    Oben rechts KachelX + 1 9097 KachelY 7048 -2.26942870 1.40133391 -130.028686 80.290519
    Unten links KachelX 9096 KachelY + 1 7049 -2.26952458 1.40131774 -130.034180 80.289592
    Unten rechts KachelX + 1 9097 KachelY + 1 7049 -2.26942870 1.40131774 -130.028686 80.289592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40133391-1.40131774) × R
    1.6169999999871e-05 × 6371000     		dl = 103.019069999178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40133391-1.40131774) × R
    1.6169999999871e-05 × 6371000     		dr = 103.019069999178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26952458--2.26942870) × cos(1.40133391) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.168652490828134 × 6371000     		do = 103.021623627985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26952458--2.26942870) × cos(1.40131774) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.168668429180118 × 6371000     		du = 103.031359593883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40133391)-sin(1.40131774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168652490828134-0.168668429180118)×R²
    abs(-2.26942870--2.26952458)×1.59383519833523e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.59383519833523e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.59383519833523e-05×40589641000000     		ar = 10613.6933514253m²