Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9096 / 26330
↖ ↑ ↗
← S 73.105800°
W 80.068360°		 ← 355.01 m → S 73.105800°
W 80.057373°		 →
↑
354.93 m
↓
↑
354.93 m
↓
S 73.108992°
W 80.068360°		 ← 354.95 m →
125 993 m²		 S 73.108992°
W 80.057373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277603149414062 y=0.803543090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277603149414062 × 215)
    floor (0.277603149414062 × 32768)
    floor (9096.5)     		tx = 9096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803543090820312 × 215)
    floor (0.803543090820312 × 32768)
    floor (26330.5)     		ty = 26330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9096 / 26330 ti = "15/9096/26330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9096/26330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9096 ÷ 215
    9096 ÷ 32768     		x = 0.277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26330 ÷ 215
    26330 ÷ 32768     		y = 0.80352783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277587890625 × 2 - 1) × π
    -0.44482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39745650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80352783203125 × 2 - 1) × π
    -0.6070556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.90712161448431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39745650} λ = -1.39745650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90712161448431))-π/2
    2×atan(0.148507233055024)-π/2
    2×0.14742971010034-π/2
    0.29485942020068-1.57079632675     		φ = -1.27593691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39745650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.068360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27593691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.105800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9096 KachelY 26330 -1.39745650 -1.27593691 -80.068360 -73.105800
    Oben rechts KachelX + 1 9097 KachelY 26330 -1.39726475 -1.27593691 -80.057373 -73.105800
    Unten links KachelX 9096 KachelY + 1 26331 -1.39745650 -1.27599262 -80.068360 -73.108992
    Unten rechts KachelX + 1 9097 KachelY + 1 26331 -1.39726475 -1.27599262 -80.057373 -73.108992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27593691--1.27599262) × R
    5.57100000000421e-05 × 6371000     		dl = 354.928410000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27593691--1.27599262) × R
    5.57100000000421e-05 × 6371000     		dr = 354.928410000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39745650--1.39726475) × cos(-1.27593691) × R
    0.000191750000000157 × 0.29060533693923 × 6371000     		do = 355.014885864729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39745650--1.39726475) × cos(-1.27599262) × R
    0.000191750000000157 × 0.290552030764431 × 6371000     		du = 354.949764949327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27593691)-sin(-1.27599262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29060533693923-0.290552030764431)×R²
    abs(-1.39726475--1.39745650)×5.33061747990393e-05×R²
    0.000191750000000157×5.33061747990393e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.33061747990393e-05×40589641000000     		ar = 125993.312367525m²