Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9095 / 26329
↖ ↑ ↗
← S 73.102607°
W 80.079346°		 ← 355.08 m → S 73.102607°
W 80.068360°		 →
↑
355.06 m
↓
↑
355.06 m
↓
S 73.105800°
W 80.079346°		 ← 355.01 m →
126 062 m²		 S 73.105800°
W 80.068360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277572631835938 y=0.803512573242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277572631835938 × 215)
    floor (0.277572631835938 × 32768)
    floor (9095.5)     		tx = 9095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803512573242188 × 215)
    floor (0.803512573242188 × 32768)
    floor (26329.5)     		ty = 26329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9095 / 26329 ti = "15/9095/26329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9095/26329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9095 ÷ 215
    9095 ÷ 32768     		x = 0.277557373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26329 ÷ 215
    26329 ÷ 32768     		y = 0.803497314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277557373046875 × 2 - 1) × π
    -0.44488525390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39764825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803497314453125 × 2 - 1) × π
    -0.60699462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.90692986688583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39764825} λ = -1.39764825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90692986688583))-π/2
    2×atan(0.148535711690587)-π/2
    2×0.147457574094428-π/2
    0.294915148188856-1.57079632675     		φ = -1.27588118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39764825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.079346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27588118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.102607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9095 KachelY 26329 -1.39764825 -1.27588118 -80.079346 -73.102607
    Oben rechts KachelX + 1 9096 KachelY 26329 -1.39745650 -1.27588118 -80.068360 -73.102607
    Unten links KachelX 9095 KachelY + 1 26330 -1.39764825 -1.27593691 -80.079346 -73.105800
    Unten rechts KachelX + 1 9096 KachelY + 1 26330 -1.39745650 -1.27593691 -80.068360 -73.105800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27588118--1.27593691) × R
    5.57299999999206e-05 × 6371000     		dl = 355.055829999494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27588118--1.27593691) × R
    5.57299999999206e-05 × 6371000     		dr = 355.055829999494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39764825--1.39745650) × cos(-1.27588118) × R
    0.000191749999999935 × 0.290658661348641 × 6371000     		do = 355.080029055838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39764825--1.39745650) × cos(-1.27593691) × R
    0.000191749999999935 × 0.29060533693923 × 6371000     		du = 355.014885864318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27588118)-sin(-1.27593691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290658661348641-0.29060533693923)×R²
    abs(-1.39745650--1.39764825)×5.33244094111929e-05×R²
    0.000191749999999935×5.33244094111929e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.33244094111929e-05×40589641000000     		ar = 126061.669730566m²