Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9095 / 26312
↖ ↑ ↗
← S 73.048237°
W 80.079346°		 ← 356.19 m → S 73.048237°
W 80.068360°		 →
↑
356.14 m
↓
↑
356.14 m
↓
S 73.051439°
W 80.079346°		 ← 356.12 m →
126 841 m²		 S 73.051439°
W 80.068360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277572631835938 y=0.802993774414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277572631835938 × 215)
    floor (0.277572631835938 × 32768)
    floor (9095.5)     		tx = 9095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802993774414062 × 215)
    floor (0.802993774414062 × 32768)
    floor (26312.5)     		ty = 26312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9095 / 26312 ti = "15/9095/26312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9095/26312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9095 ÷ 215
    9095 ÷ 32768     		x = 0.277557373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26312 ÷ 215
    26312 ÷ 32768     		y = 0.802978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277557373046875 × 2 - 1) × π
    -0.44488525390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39764825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802978515625 × 2 - 1) × π
    -0.60595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90367015771167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39764825} λ = -1.39764825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90367015771167))-π/2
    2×atan(0.149020684919085)-π/2
    2×0.147932044925229-π/2
    0.295864089850458-1.57079632675     		φ = -1.27493224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39764825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.079346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27493224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.048237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9095 KachelY 26312 -1.39764825 -1.27493224 -80.079346 -73.048237
    Oben rechts KachelX + 1 9096 KachelY 26312 -1.39745650 -1.27493224 -80.068360 -73.048237
    Unten links KachelX 9095 KachelY + 1 26313 -1.39764825 -1.27498814 -80.079346 -73.051439
    Unten rechts KachelX + 1 9096 KachelY + 1 26313 -1.39745650 -1.27498814 -80.068360 -73.051439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27493224--1.27498814) × R
    5.58999999999976e-05 × 6371000     		dl = 356.138899999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27493224--1.27498814) × R
    5.58999999999976e-05 × 6371000     		dr = 356.138899999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39764825--1.39745650) × cos(-1.27493224) × R
    0.000191749999999935 × 0.291566501577403 × 6371000     		do = 356.189082312022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39764825--1.39745650) × cos(-1.27498814) × R
    0.000191749999999935 × 0.291513029945544 × 6371000     		du = 356.123759267781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27493224)-sin(-1.27498814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291566501577403-0.291513029945544)×R²
    abs(-1.39745650--1.39764825)×5.34716318597028e-05×R²
    0.000191749999999935×5.34716318597028e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.34716318597028e-05×40589641000000     		ar = 126841.155960905m²