Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9094 / 26214
↖ ↑ ↗
← S 72.731481°
W 80.090332°		 ← 362.62 m → S 72.731481°
W 80.079346°		 →
↑
362.64 m
↓
↑
362.64 m
↓
S 72.734743°
W 80.090332°		 ← 362.56 m →
131 489 m²		 S 72.734743°
W 80.079346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277542114257812 y=0.800003051757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277542114257812 × 215)
    floor (0.277542114257812 × 32768)
    floor (9094.5)     		tx = 9094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800003051757812 × 215)
    floor (0.800003051757812 × 32768)
    floor (26214.5)     		ty = 26214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9094 / 26214 ti = "15/9094/26214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9094/26214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9094 ÷ 215
    9094 ÷ 32768     		x = 0.27752685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26214 ÷ 215
    26214 ÷ 32768     		y = 0.79998779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.4449462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39783999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79998779296875 × 2 - 1) × π
    -0.5999755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88487889306061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39783999} λ = -1.39783999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88487889306061))-π/2
    2×atan(0.151847448095604)-π/2
    2×0.150696251304863-π/2
    0.301392502609727-1.57079632675     		φ = -1.26940382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39783999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.090332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26940382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.731481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9094 KachelY 26214 -1.39783999 -1.26940382 -80.090332 -72.731481
    Oben rechts KachelX + 1 9095 KachelY 26214 -1.39764825 -1.26940382 -80.079346 -72.731481
    Unten links KachelX 9094 KachelY + 1 26215 -1.39783999 -1.26946074 -80.090332 -72.734743
    Unten rechts KachelX + 1 9095 KachelY + 1 26215 -1.39764825 -1.26946074 -80.079346 -72.734743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26940382--1.26946074) × R
    5.69200000000158e-05 × 6371000     		dl = 362.637320000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26940382--1.26946074) × R
    5.69200000000158e-05 × 6371000     		dr = 362.637320000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39783999--1.39764825) × cos(-1.26940382) × R
    0.000191739999999996 × 0.296850232266029 × 6371000     		do = 362.624982779491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39783999--1.39764825) × cos(-1.26946074) × R
    0.000191739999999996 × 0.296795877508301 × 6371000     		du = 362.558584336969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26940382)-sin(-1.26946074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296850232266029-0.296795877508301)×R²
    abs(-1.39764825--1.39783999)×5.43547577275261e-05×R²
    0.000191739999999996×5.43547577275261e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.43547577275261e-05×40589641000000     		ar = 131489.312679032m²