Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9093 / 26300
↖ ↑ ↗
← S 73.009755°
W 80.101318°		 ← 356.97 m → S 73.009755°
W 80.090332°		 →
↑
356.97 m
↓
↑
356.97 m
↓
S 73.012965°
W 80.101318°		 ← 356.91 m →
127 416 m²		 S 73.012965°
W 80.090332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277511596679688 y=0.802627563476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277511596679688 × 215)
    floor (0.277511596679688 × 32768)
    floor (9093.5)     		tx = 9093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802627563476562 × 215)
    floor (0.802627563476562 × 32768)
    floor (26300.5)     		ty = 26300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9093 / 26300 ti = "15/9093/26300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9093/26300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9093 ÷ 215
    9093 ÷ 32768     		x = 0.277496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26300 ÷ 215
    26300 ÷ 32768     		y = 0.8026123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.44500732421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39803174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8026123046875 × 2 - 1) × π
    -0.605224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90136918652991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39803174} λ = -1.39803174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90136918652991))-π/2
    2×atan(0.149363972015969)-π/2
    2×0.148267857387489-π/2
    0.296535714774979-1.57079632675     		φ = -1.27426061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39803174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.101318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27426061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.009755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9093 KachelY 26300 -1.39803174 -1.27426061 -80.101318 -73.009755
    Oben rechts KachelX + 1 9094 KachelY 26300 -1.39783999 -1.27426061 -80.090332 -73.009755
    Unten links KachelX 9093 KachelY + 1 26301 -1.39803174 -1.27431664 -80.101318 -73.012965
    Unten rechts KachelX + 1 9094 KachelY + 1 26301 -1.39783999 -1.27431664 -80.090332 -73.012965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27426061--1.27431664) × R
    5.60299999998737e-05 × 6371000     		dl = 356.967129999195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27426061--1.27431664) × R
    5.60299999998737e-05 × 6371000     		dr = 356.967129999195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39803174--1.39783999) × cos(-1.27426061) × R
    0.000191749999999935 × 0.292208883821274 × 6371000     		do = 356.973841674638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39803174--1.39783999) × cos(-1.27431664) × R
    0.000191749999999935 × 0.292155298818864 × 6371000     		du = 356.908380132482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27426061)-sin(-1.27431664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292208883821274-0.292155298818864)×R²
    abs(-1.39783999--1.39803174)×5.35850024105389e-05×R²
    0.000191749999999935×5.35850024105389e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.35850024105389e-05×40589641000000     		ar = 127416.243972028m²