Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9092 / 11172
↖ ↑ ↗
← N 75.623178°
W130.056152°		 ← 151.66 m → N 75.623178°
W130.050659°		 →
↑
151.69 m
↓
↑
151.69 m
↓
N 75.621813°
W130.056152°		 ← 151.67 m →
23 007 m²		 N 75.621813°
W130.050659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138740539550781 y=0.170478820800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138740539550781 × 216)
    floor (0.138740539550781 × 65536)
    floor (9092.5)     		tx = 9092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170478820800781 × 216)
    floor (0.170478820800781 × 65536)
    floor (11172.5)     		ty = 11172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9092 / 11172 ti = "16/9092/11172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9092/11172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9092 ÷ 216
    9092 ÷ 65536     		x = 0.13873291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11172 ÷ 216
    11172 ÷ 65536     		y = 0.17047119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13873291015625 × 2 - 1) × π
    -0.7225341796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.26990807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17047119140625 × 2 - 1) × π
    0.6590576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.07049056838947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26990807} λ = -2.26990807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07049056838947))-π/2
    2×atan(7.9287117393026)-π/2
    2×1.44533488229819-π/2
    2.89066976459639-1.57079632675     		φ = 1.31987344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26990807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.056152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31987344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.623178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9092 KachelY 11172 -2.26990807 1.31987344 -130.056152 75.623178
    Oben rechts KachelX + 1 9093 KachelY 11172 -2.26981220 1.31987344 -130.050659 75.623178
    Unten links KachelX 9092 KachelY + 1 11173 -2.26990807 1.31984963 -130.056152 75.621813
    Unten rechts KachelX + 1 9093 KachelY + 1 11173 -2.26981220 1.31984963 -130.050659 75.621813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31987344-1.31984963) × R
    2.38100000000685e-05 × 6371000     		dl = 151.693510000436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31987344-1.31984963) × R
    2.38100000000685e-05 × 6371000     		dr = 151.693510000436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26990807--2.26981220) × cos(1.31987344) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.24829805024755 × 6371000     		do = 151.657412406045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26990807--2.26981220) × cos(1.31984963) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.248321114535664 × 6371000     		du = 151.67149979115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31987344)-sin(1.31984963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24829805024755-0.248321114535664)×R²
    abs(-2.26981220--2.26990807)×2.30642881145771e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.30642881145771e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.30642881145771e-05×40589641000000     		ar = 23006.5136887584m²