Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9092 / 11138
↖ ↑ ↗
← N 75.669478°
W130.056152°		 ← 151.18 m → N 75.669478°
W130.050659°		 →
↑
151.18 m
↓
↑
151.18 m
↓
N 75.668119°
W130.056152°		 ← 151.19 m →
22 857 m²		 N 75.668119°
W130.050659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138740539550781 y=0.169960021972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138740539550781 × 216)
    floor (0.138740539550781 × 65536)
    floor (9092.5)     		tx = 9092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169960021972656 × 216)
    floor (0.169960021972656 × 65536)
    floor (11138.5)     		ty = 11138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9092 / 11138 ti = "16/9092/11138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9092/11138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9092 ÷ 216
    9092 ÷ 65536     		x = 0.13873291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11138 ÷ 216
    11138 ÷ 65536     		y = 0.169952392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13873291015625 × 2 - 1) × π
    -0.7225341796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.26990807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.169952392578125 × 2 - 1) × π
    0.66009521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.07375027756363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26990807} λ = -2.26990807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07375027756363))-π/2
    2×atan(7.9545992035782)-π/2
    2×1.44573893371617-π/2
    2.89147786743235-1.57079632675     		φ = 1.32068154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26990807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.056152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32068154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.669478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9092 KachelY 11138 -2.26990807 1.32068154 -130.056152 75.669478
    Oben rechts KachelX + 1 9093 KachelY 11138 -2.26981220 1.32068154 -130.050659 75.669478
    Unten links KachelX 9092 KachelY + 1 11139 -2.26990807 1.32065781 -130.056152 75.668119
    Unten rechts KachelX + 1 9093 KachelY + 1 11139 -2.26981220 1.32065781 -130.050659 75.668119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32068154-1.32065781) × R
    2.37300000001106e-05 × 6371000     		dl = 151.183830000705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32068154-1.32065781) × R
    2.37300000001106e-05 × 6371000     		dr = 151.183830000705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26990807--2.26981220) × cos(1.32068154) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.247515175975804 × 6371000     		do = 151.179242375416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26990807--2.26981220) × cos(1.32065781) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.247538167523827 × 6371000     		du = 151.193285331761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32068154)-sin(1.32065781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.247515175975804-0.247538167523827)×R²
    abs(-2.26981220--2.26990807)×2.29915480228493e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.29915480228493e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.29915480228493e-05×40589641000000     		ar = 22856.9184140167m²