Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9091 / 26322
↖ ↑ ↗
← S 73.080240°
W 80.123291°		 ← 355.54 m → S 73.080240°
W 80.112305°		 →
↑
355.50 m
↓
↑
355.50 m
↓
S 73.083437°
W 80.123291°		 ← 355.47 m →
126 382 m²		 S 73.083437°
W 80.112305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277450561523438 y=0.803298950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277450561523438 × 215)
    floor (0.277450561523438 × 32768)
    floor (9091.5)     		tx = 9091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803298950195312 × 215)
    floor (0.803298950195312 × 32768)
    floor (26322.5)     		ty = 26322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9091 / 26322 ti = "15/9091/26322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9091/26322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9091 ÷ 215
    9091 ÷ 32768     		x = 0.277435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26322 ÷ 215
    26322 ÷ 32768     		y = 0.80328369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.44512939453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39841524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80328369140625 × 2 - 1) × π
    -0.6065673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90558763369647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39841524} λ = -1.39841524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90558763369647))-π/2
    2×atan(0.148735215112729)-π/2
    2×0.147652765255071-π/2
    0.295305530510141-1.57079632675     		φ = -1.27549080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39841524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.123291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27549080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.080240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9091 KachelY 26322 -1.39841524 -1.27549080 -80.123291 -73.080240
    Oben rechts KachelX + 1 9092 KachelY 26322 -1.39822349 -1.27549080 -80.112305 -73.080240
    Unten links KachelX 9091 KachelY + 1 26323 -1.39841524 -1.27554660 -80.123291 -73.083437
    Unten rechts KachelX + 1 9092 KachelY + 1 26323 -1.39822349 -1.27554660 -80.112305 -73.083437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27549080--1.27554660) × R
    5.57999999999392e-05 × 6371000     		dl = 355.501799999613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27549080--1.27554660) × R
    5.57999999999392e-05 × 6371000     		dr = 355.501799999613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39841524--1.39822349) × cos(-1.27549080) × R
    0.000191750000000157 × 0.291032165241197 × 6371000     		do = 355.536316071423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39841524--1.39822349) × cos(-1.27554660) × R
    0.000191750000000157 × 0.290978780187738 × 6371000     		du = 355.471098794754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27549080)-sin(-1.27554660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291032165241197-0.290978780187738)×R²
    abs(-1.39822349--1.39841524)×5.33850534588098e-05×R²
    0.000191750000000157×5.33850534588098e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.33850534588098e-05×40589641000000     		ar = 126382.207931688m²