Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9091 / 25660
↖ ↑ ↗
← S 70.830248°
W 80.123291°		 ← 401.15 m → S 70.830248°
W 80.112305°		 →
↑
401.12 m
↓
↑
401.12 m
↓
S 70.833855°
W 80.123291°		 ← 401.07 m →
160 893 m²		 S 70.833855°
W 80.112305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277450561523438 y=0.783096313476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277450561523438 × 215)
    floor (0.277450561523438 × 32768)
    floor (9091.5)     		tx = 9091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783096313476562 × 215)
    floor (0.783096313476562 × 32768)
    floor (25660.5)     		ty = 25660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9091 / 25660 ti = "15/9091/25660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9091/25660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9091 ÷ 215
    9091 ÷ 32768     		x = 0.277435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25660 ÷ 215
    25660 ÷ 32768     		y = 0.7830810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.44512939453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39841524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7830810546875 × 2 - 1) × π
    -0.566162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77865072350256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39841524} λ = -1.39841524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77865072350256))-π/2
    2×atan(0.168865840333183)-π/2
    2×0.167287647886237-π/2
    0.334575295772473-1.57079632675     		φ = -1.23622103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39841524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.123291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23622103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.830248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9091 KachelY 25660 -1.39841524 -1.23622103 -80.123291 -70.830248
    Oben rechts KachelX + 1 9092 KachelY 25660 -1.39822349 -1.23622103 -80.112305 -70.830248
    Unten links KachelX 9091 KachelY + 1 25661 -1.39841524 -1.23628399 -80.123291 -70.833855
    Unten rechts KachelX + 1 9092 KachelY + 1 25661 -1.39822349 -1.23628399 -80.112305 -70.833855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23622103--1.23628399) × R
    6.29599999999453e-05 × 6371000     		dl = 401.118159999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23622103--1.23628399) × R
    6.29599999999453e-05 × 6371000     		dr = 401.118159999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39841524--1.39822349) × cos(-1.23622103) × R
    0.000191750000000157 × 0.328368046150018 × 6371000     		do = 401.147293623002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39841524--1.39822349) × cos(-1.23628399) × R
    0.000191750000000157 × 0.328308576640444 × 6371000     		du = 401.074643335928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23622103)-sin(-1.23628399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328368046150018-0.328308576640444)×R²
    abs(-1.39822349--1.39841524)×5.94695095735287e-05×R²
    0.000191750000000157×5.94695095735287e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.94695095735287e-05×40589641000000     		ar = 160892.89368546m²