Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9091 / 11139
↖ ↑ ↗
← N 75.668119°
W130.061645°		 ← 151.19 m → N 75.668119°
W130.056152°		 →
↑
151.18 m
↓
↑
151.18 m
↓
N 75.666759°
W130.061645°		 ← 151.21 m →
22 859 m²		 N 75.666759°
W130.056152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138725280761719 y=0.169975280761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138725280761719 × 216)
    floor (0.138725280761719 × 65536)
    floor (9091.5)     		tx = 9091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169975280761719 × 216)
    floor (0.169975280761719 × 65536)
    floor (11139.5)     		ty = 11139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9091 / 11139 ti = "16/9091/11139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9091/11139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9091 ÷ 216
    9091 ÷ 65536     		x = 0.138717651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11139 ÷ 216
    11139 ÷ 65536     		y = 0.169967651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138717651367188 × 2 - 1) × π
    -0.722564697265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27000394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.169967651367188 × 2 - 1) × π
    0.660064697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.07365440376439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27000394} λ = -2.27000394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07365440376439))-π/2
    2×atan(7.95383660248844)-π/2
    2×1.44572706805496-π/2
    2.89145413610993-1.57079632675     		φ = 1.32065781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27000394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.061645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32065781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.668119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9091 KachelY 11139 -2.27000394 1.32065781 -130.061645 75.668119
    Oben rechts KachelX + 1 9092 KachelY 11139 -2.26990807 1.32065781 -130.056152 75.668119
    Unten links KachelX 9091 KachelY + 1 11140 -2.27000394 1.32063408 -130.061645 75.666759
    Unten rechts KachelX + 1 9092 KachelY + 1 11140 -2.26990807 1.32063408 -130.056152 75.666759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32065781-1.32063408) × R
    2.37299999998886e-05 × 6371000     		dl = 151.18382999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32065781-1.32063408) × R
    2.37299999998886e-05 × 6371000     		dr = 151.18382999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27000394--2.26990807) × cos(1.32065781) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.247538167523827 × 6371000     		do = 151.193285331761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27000394--2.26990807) × cos(1.32063408) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.247561158932458 × 6371000     		du = 151.207328202968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32065781)-sin(1.32063408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.247538167523827-0.247561158932458)×R²
    abs(-2.26990807--2.27000394)×2.29914086307126e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.29914086307126e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.29914086307126e-05×40589641000000     		ar = 22859.0414751378m²