Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9090 / 26396
↖ ↑ ↗
← S 73.315246°
W 80.134277°		 ← 350.72 m → S 73.315246°
W 80.123291°		 →
↑
350.72 m
↓
↑
350.72 m
↓
S 73.318400°
W 80.134277°		 ← 350.66 m →
122 995 m²		 S 73.318400°
W 80.123291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277420043945312 y=0.805557250976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277420043945312 × 215)
    floor (0.277420043945312 × 32768)
    floor (9090.5)     		tx = 9090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.805557250976562 × 215)
    floor (0.805557250976562 × 32768)
    floor (26396.5)     		ty = 26396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9090 / 26396 ti = "15/9090/26396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9090/26396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9090 ÷ 215
    9090 ÷ 32768     		x = 0.27740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26396 ÷ 215
    26396 ÷ 32768     		y = 0.8055419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.4451904296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39860698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8055419921875 × 2 - 1) × π
    -0.611083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.91977695598401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39860698} λ = -1.39860698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91977695598401))-π/2
    2×atan(0.146639665582975)-π/2
    2×0.145601947976924-π/2
    0.291203895953849-1.57079632675     		φ = -1.27959243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39860698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.134277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27959243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.315246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9090 KachelY 26396 -1.39860698 -1.27959243 -80.134277 -73.315246
    Oben rechts KachelX + 1 9091 KachelY 26396 -1.39841524 -1.27959243 -80.123291 -73.315246
    Unten links KachelX 9090 KachelY + 1 26397 -1.39860698 -1.27964748 -80.134277 -73.318400
    Unten rechts KachelX + 1 9091 KachelY + 1 26397 -1.39841524 -1.27964748 -80.123291 -73.318400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27959243--1.27964748) × R
    5.50500000000564e-05 × 6371000     		dl = 350.72355000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27959243--1.27964748) × R
    5.50500000000564e-05 × 6371000     		dr = 350.72355000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39860698--1.39841524) × cos(-1.27959243) × R
    0.000191739999999996 × 0.287105644331718 × 6371000     		do = 350.721232511559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39860698--1.39841524) × cos(-1.27964748) × R
    0.000191739999999996 × 0.28705291156093 × 6371000     		du = 350.656815448608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27959243)-sin(-1.27964748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287105644331718-0.28705291156093)×R²
    abs(-1.39841524--1.39860698)×5.27327707880443e-05×R²
    0.000191739999999996×5.27327707880443e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.27327707880443e-05×40589641000000     		ar = 122994.899468081m²