Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9090 / 26380
↖ ↑ ↗
← S 73.264704°
W 80.134277°		 ← 351.75 m → S 73.264704°
W 80.123291°		 →
↑
351.74 m
↓
↑
351.74 m
↓
S 73.267867°
W 80.134277°		 ← 351.69 m →
123 715 m²		 S 73.267867°
W 80.123291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277420043945312 y=0.805068969726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277420043945312 × 215)
    floor (0.277420043945312 × 32768)
    floor (9090.5)     		tx = 9090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.805068969726562 × 215)
    floor (0.805068969726562 × 32768)
    floor (26380.5)     		ty = 26380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9090 / 26380 ti = "15/9090/26380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9090/26380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9090 ÷ 215
    9090 ÷ 32768     		x = 0.27740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26380 ÷ 215
    26380 ÷ 32768     		y = 0.8050537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.4451904296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39860698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8050537109375 × 2 - 1) × π
    -0.610107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.91670899440833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39860698} λ = -1.39860698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91670899440833))-π/2
    2×atan(0.147090241263476)-π/2
    2×0.14604301023991-π/2
    0.292086020479819-1.57079632675     		φ = -1.27871031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39860698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.134277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27871031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.264704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9090 KachelY 26380 -1.39860698 -1.27871031 -80.134277 -73.264704
    Oben rechts KachelX + 1 9091 KachelY 26380 -1.39841524 -1.27871031 -80.123291 -73.264704
    Unten links KachelX 9090 KachelY + 1 26381 -1.39860698 -1.27876552 -80.134277 -73.267867
    Unten rechts KachelX + 1 9091 KachelY + 1 26381 -1.39841524 -1.27876552 -80.123291 -73.267867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27871031--1.27876552) × R
    5.52100000001943e-05 × 6371000     		dl = 351.742910001238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27871031--1.27876552) × R
    5.52100000001943e-05 × 6371000     		dr = 351.742910001238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39860698--1.39841524) × cos(-1.27871031) × R
    0.000191739999999996 × 0.287950514317585 × 6371000     		do = 351.753305020774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39860698--1.39841524) × cos(-1.27876552) × R
    0.000191739999999996 × 0.287897642282298 × 6371000     		du = 351.688717835717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27871031)-sin(-1.27876552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287950514317585-0.287897642282298)×R²
    abs(-1.39841524--1.39860698)×5.28720352870882e-05×R²
    0.000191739999999996×5.28720352870882e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.28720352870882e-05×40589641000000     		ar = 123715.372099177m²