Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9090 / 12927
↖ ↑ ↗
← S 71.517945°
E 19.731445°		 ← 774.52 m → S 71.517945°
E 19.753418°		 →
↑
774.40 m
↓
↑
774.40 m
↓
S 71.524909°
E 19.731445°		 ← 774.24 m →
599 674 m²		 S 71.524909°
E 19.753418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554840087890625 y=0.789031982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554840087890625 × 214)
    floor (0.554840087890625 × 16384)
    floor (9090.5)     		tx = 9090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789031982421875 × 214)
    floor (0.789031982421875 × 16384)
    floor (12927.5)     		ty = 12927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9090 / 12927 ti = "14/9090/12927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9090/12927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9090 ÷ 214
    9090 ÷ 16384     		x = 0.5548095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12927 ÷ 214
    12927 ÷ 16384     		y = 0.78900146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5548095703125 × 2 - 1) × π
    0.109619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.34437869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78900146484375 × 2 - 1) × π
    -0.5780029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81584975760773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34437869} λ = 0.34437869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81584975760773))-π/2
    2×atan(0.162699594413716)-π/2
    2×0.161286357858849-π/2
    0.322572715717698-1.57079632675     		φ = -1.24822361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34437869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.731445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24822361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.517945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9090 KachelY 12927 0.34437869 -1.24822361 19.731445 -71.517945
    Oben rechts KachelX + 1 9091 KachelY 12927 0.34476218 -1.24822361 19.753418 -71.517945
    Unten links KachelX 9090 KachelY + 1 12928 0.34437869 -1.24834516 19.731445 -71.524909
    Unten rechts KachelX + 1 9091 KachelY + 1 12928 0.34476218 -1.24834516 19.753418 -71.524909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24822361--1.24834516) × R
    0.000121550000000026 × 6371000     		dl = 774.395050000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24822361--1.24834516) × R
    0.000121550000000026 × 6371000     		dr = 774.395050000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34437869-0.34476218) × cos(-1.24822361) × R
    0.000383489999999986 × 0.317007630787244 × 6371000     		do = 774.517732082226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34437869-0.34476218) × cos(-1.24834516) × R
    0.000383489999999986 × 0.316892347631675 × 6371000     		du = 774.236070571501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24822361)-sin(-1.24834516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317007630787244-0.316892347631675)×R²
    abs(0.34476218-0.34437869)×0.000115283155569301×R²
    0.000383489999999986×0.000115283155569301×6371000²
    0.000383489999999986×0.000115283155569301×40589641000000     		ar = 599673.639961612m²