Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 909 / 562
↖ ↑ ↗
← N 62.754726°
W 20.214844°		 ← 8 948.16 m → N 62.754726°
W 20.039063°		 →
↑
8 960.37 m
↓
↑
8 960.37 m
↓
N 62.674144°
W 20.214844°		 ← 8 972.59 m →
80 288 236 m²		 N 62.674144°
W 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444091796875 y=0.274658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444091796875 × 211)
    floor (0.444091796875 × 2048)
    floor (909.5)     		tx = 909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274658203125 × 211)
    floor (0.274658203125 × 2048)
    floor (562.5)     		ty = 562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 909 / 562 ti = "11/909/562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/909/562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 909 ÷ 211
    909 ÷ 2048     		x = 0.44384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 562 ÷ 211
    562 ÷ 2048     		y = 0.2744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35281558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2744140625 × 2 - 1) × π
    0.451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.41739824796582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35281558} λ = -0.35281558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41739824796582))-π/2
    2×atan(4.12637066891391)-π/2
    2×1.3330364576966-π/2
    2.6660729153932-1.57079632675     		φ = 1.09527659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35281558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09527659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.754726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 909 KachelY 562 -0.35281558 1.09527659 -20.214844 62.754726
    Oben rechts KachelX + 1 910 KachelY 562 -0.34974762 1.09527659 -20.039063 62.754726
    Unten links KachelX 909 KachelY + 1 563 -0.35281558 1.09387016 -20.214844 62.674144
    Unten rechts KachelX + 1 910 KachelY + 1 563 -0.34974762 1.09387016 -20.039063 62.674144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09527659-1.09387016) × R
    0.00140643000000007 × 6371000     		dl = 8960.36553000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09527659-1.09387016) × R
    0.00140643000000007 × 6371000     		dr = 8960.36553000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35281558--0.34974762) × cos(1.09527659) × R
    0.00306796000000004 × 0.45780058353743 × 6371000     		do = 8948.15791845505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35281558--0.34974762) × cos(1.09387016) × R
    0.00306796000000004 × 0.459050523841437 × 6371000     		du = 8972.58921808877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09527659)-sin(1.09387016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45780058353743-0.459050523841437)×R²
    abs(-0.34974762--0.35281558)×0.00124994030400688×R²
    0.00306796000000004×0.00124994030400688×6371000²
    0.00306796000000004×0.00124994030400688×40589641000000     		ar = 80288235.6915512m²