Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 909 / 1338
↖ ↑ ↗
← S 48.224673°
W 20.214844°		 ← 13.022 km → S 48.224673°
W 20.039063°		 →
↑
13.007 km
↓
↑
13.007 km
↓
S 48.341646°
W 20.214844°		 ← 12.992 km →
169.178 km²		 S 48.341646°
W 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444091796875 y=0.653564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444091796875 × 211)
    floor (0.444091796875 × 2048)
    floor (909.5)     		tx = 909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653564453125 × 211)
    floor (0.653564453125 × 2048)
    floor (1338.5)     		ty = 1338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 909 / 1338 ti = "11/909/1338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/909/1338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 909 ÷ 211
    909 ÷ 2048     		x = 0.44384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1338 ÷ 211
    1338 ÷ 2048     		y = 0.6533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35281558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6533203125 × 2 - 1) × π
    -0.306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.963339934764648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35281558} λ = -0.35281558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.963339934764648))-π/2
    2×atan(0.381616181954998)-π/2
    2×0.364558504190935-π/2
    0.72911700838187-1.57079632675     		φ = -0.84167932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35281558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84167932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.224673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 909 KachelY 1338 -0.35281558 -0.84167932 -20.214844 -48.224673
    Oben rechts KachelX + 1 910 KachelY 1338 -0.34974762 -0.84167932 -20.039063 -48.224673
    Unten links KachelX 909 KachelY + 1 1339 -0.35281558 -0.84372089 -20.214844 -48.341646
    Unten rechts KachelX + 1 910 KachelY + 1 1339 -0.34974762 -0.84372089 -20.039063 -48.341646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84167932--0.84372089) × R
    0.00204156999999994 × 6371000     		dl = 13006.8424699996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84167932--0.84372089) × R
    0.00204156999999994 × 6371000     		dr = 13006.8424699996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35281558--0.34974762) × cos(-0.84167932) × R
    0.00306796000000004 × 0.666211391183872 × 6371000     		do = 13021.7499709664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35281558--0.34974762) × cos(-0.84372089) × R
    0.00306796000000004 × 0.664687476582563 × 6371000     		du = 12991.9635770711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84167932)-sin(-0.84372089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666211391183872-0.664687476582563)×R²
    abs(-0.34974762--0.35281558)×0.00152391460130841×R²
    0.00306796000000004×0.00152391460130841×6371000²
    0.00306796000000004×0.00152391460130841×40589641000000     		ar = 169178195.850854m²