Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9089 / 26321
↖ ↑ ↗
← S 73.077042°
W 80.145264°		 ← 355.60 m → S 73.077042°
W 80.134277°		 →
↑
355.57 m
↓
↑
355.57 m
↓
S 73.080240°
W 80.145264°		 ← 355.54 m →
126 428 m²		 S 73.080240°
W 80.134277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277389526367188 y=0.803268432617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277389526367188 × 215)
    floor (0.277389526367188 × 32768)
    floor (9089.5)     		tx = 9089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803268432617188 × 215)
    floor (0.803268432617188 × 32768)
    floor (26321.5)     		ty = 26321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9089 / 26321 ti = "15/9089/26321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9089/26321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9089 ÷ 215
    9089 ÷ 32768     		x = 0.277374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26321 ÷ 215
    26321 ÷ 32768     		y = 0.803253173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.44525146484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39879873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803253173828125 × 2 - 1) × π
    -0.60650634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.90539588609799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39879873} λ = -1.39879873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90539588609799))-π/2
    2×atan(0.148763737467495)-π/2
    2×0.147680670174245-π/2
    0.29536134034849-1.57079632675     		φ = -1.27543499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39879873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.145264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27543499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.077042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9089 KachelY 26321 -1.39879873 -1.27543499 -80.145264 -73.077042
    Oben rechts KachelX + 1 9090 KachelY 26321 -1.39860698 -1.27543499 -80.134277 -73.077042
    Unten links KachelX 9089 KachelY + 1 26322 -1.39879873 -1.27549080 -80.145264 -73.080240
    Unten rechts KachelX + 1 9090 KachelY + 1 26322 -1.39860698 -1.27549080 -80.134277 -73.080240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27543499--1.27549080) × R
    5.58100000001005e-05 × 6371000     		dl = 355.56551000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27543499--1.27549080) × R
    5.58100000001005e-05 × 6371000     		dr = 355.56551000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39879873--1.39860698) × cos(-1.27543499) × R
    0.000191749999999935 × 0.291085558955457 × 6371000     		do = 355.601543928054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39879873--1.39860698) × cos(-1.27549080) × R
    0.000191749999999935 × 0.291032165241197 × 6371000     		du = 355.536316071011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27543499)-sin(-1.27549080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291085558955457-0.291032165241197)×R²
    abs(-1.39860698--1.39879873)×5.33937142598306e-05×R²
    0.000191749999999935×5.33937142598306e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.33937142598306e-05×40589641000000     		ar = 126428.047968222m²