Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9089 / 12925
↖ ↑ ↗
← S 71.504009°
E 19.709473°		 ← 775.10 m → S 71.504009°
E 19.731445°		 →
↑
774.97 m
↓
↑
774.97 m
↓
S 71.510978°
E 19.709473°		 ← 774.82 m →
600 570 m²		 S 71.510978°
E 19.731445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554779052734375 y=0.788909912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554779052734375 × 214)
    floor (0.554779052734375 × 16384)
    floor (9089.5)     		tx = 9089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788909912109375 × 214)
    floor (0.788909912109375 × 16384)
    floor (12925.5)     		ty = 12925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9089 / 12925 ti = "14/9089/12925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9089/12925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9089 ÷ 214
    9089 ÷ 16384     		x = 0.55474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12925 ÷ 214
    12925 ÷ 16384     		y = 0.78887939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55474853515625 × 2 - 1) × π
    0.1094970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34399519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78887939453125 × 2 - 1) × π
    -0.5777587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.81508276721381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34399519} λ = 0.34399519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81508276721381))-π/2
    2×atan(0.162824431307955)-π/2
    2×0.16140797298903-π/2
    0.32281594597806-1.57079632675     		φ = -1.24798038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34399519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.709473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24798038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.504009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9089 KachelY 12925 0.34399519 -1.24798038 19.709473 -71.504009
    Oben rechts KachelX + 1 9090 KachelY 12925 0.34437869 -1.24798038 19.731445 -71.504009
    Unten links KachelX 9089 KachelY + 1 12926 0.34399519 -1.24810202 19.709473 -71.510978
    Unten rechts KachelX + 1 9090 KachelY + 1 12926 0.34437869 -1.24810202 19.731445 -71.510978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24798038--1.24810202) × R
    0.000121639999999923 × 6371000     		dl = 774.968439999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24798038--1.24810202) × R
    0.000121639999999923 × 6371000     		dr = 774.968439999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34399519-0.34437869) × cos(-1.24798038) × R
    0.000383499999999981 × 0.317238306330848 × 6371000     		do = 775.101533234536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34399519-0.34437869) × cos(-1.24810202) × R
    0.000383499999999981 × 0.317122947194593 × 6371000     		du = 774.819678737145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24798038)-sin(-1.24810202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317238306330848-0.317122947194593)×R²
    abs(0.34437869-0.34399519)×0.000115359136255322×R²
    0.000383499999999981×0.000115359136255322×6371000²
    0.000383499999999981×0.000115359136255322×40589641000000     		ar = 600570.012622576m²