Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9088 / 4480
↖ ↑ ↗
← N 82.402423°
W130.078125°		 ← 80.76 m → N 82.402423°
W130.072632°		 →
↑
80.78 m
↓
↑
80.78 m
↓
N 82.401697°
W130.078125°		 ← 80.77 m →
6 525 m²		 N 82.401697°
W130.072632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138679504394531 y=0.0683670043945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138679504394531 × 216)
    floor (0.138679504394531 × 65536)
    floor (9088.5)     		tx = 9088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0683670043945312 × 216)
    floor (0.0683670043945312 × 65536)
    floor (4480.5)     		ty = 4480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9088 / 4480 ti = "16/9088/4480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9088/4480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9088 ÷ 216
    9088 ÷ 65536     		x = 0.138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4480 ÷ 216
    4480 ÷ 65536     		y = 0.068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138671875 × 2 - 1) × π
    -0.72265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27029157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.068359375 × 2 - 1) × π
    0.86328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.7120780329043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27029157} λ = -2.27029157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7120780329043))-π/2
    2×atan(15.0605393162767)-π/2
    2×1.50449496406133-π/2
    3.00898992812266-1.57079632675     		φ = 1.43819360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27029157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43819360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.402423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9088 KachelY 4480 -2.27029157 1.43819360 -130.078125 82.402423
    Oben rechts KachelX + 1 9089 KachelY 4480 -2.27019569 1.43819360 -130.072632 82.402423
    Unten links KachelX 9088 KachelY + 1 4481 -2.27029157 1.43818092 -130.078125 82.401697
    Unten rechts KachelX + 1 9089 KachelY + 1 4481 -2.27019569 1.43818092 -130.072632 82.401697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43819360-1.43818092) × R
    1.26799999999871e-05 × 6371000     		dl = 80.7842799999181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43819360-1.43818092) × R
    1.26799999999871e-05 × 6371000     		dr = 80.7842799999181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27029157--2.27019569) × cos(1.43819360) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.132214465332803 × 6371000     		do = 80.7634018258985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27029157--2.27019569) × cos(1.43818092) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.132227034006144 × 6371000     		du = 80.7710794186107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43819360)-sin(1.43818092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132214465332803-0.132227034006144)×R²
    abs(-2.27019569--2.27029157)×1.25686733413732e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.25686733413732e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.25686733413732e-05×40589641000000     		ar = 6524.72338109512m²