Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9088 / 3201
↖ ↑ ↗
← N 83.277062°
W130.078125°		 ← 71.51 m → N 83.277062°
W130.072632°		 →
↑
71.48 m
↓
↑
71.48 m
↓
N 83.276419°
W130.078125°		 ← 71.52 m →
5 112 m²		 N 83.276419°
W130.072632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138679504394531 y=0.0488510131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138679504394531 × 216)
    floor (0.138679504394531 × 65536)
    floor (9088.5)     		tx = 9088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0488510131835938 × 216)
    floor (0.0488510131835938 × 65536)
    floor (3201.5)     		ty = 3201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9088 / 3201 ti = "16/9088/3201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9088/3201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9088 ÷ 216
    9088 ÷ 65536     		x = 0.138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3201 ÷ 216
    3201 ÷ 65536     		y = 0.0488433837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138671875 × 2 - 1) × π
    -0.72265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27029157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0488433837890625 × 2 - 1) × π
    0.902313232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.8347006221324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27029157} λ = -2.27029157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.8347006221324))-π/2
    2×atan(17.0253025385865)-π/2
    2×1.51212762498972-π/2
    3.02425524997944-1.57079632675     		φ = 1.45345892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27029157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45345892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.277062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9088 KachelY 3201 -2.27029157 1.45345892 -130.078125 83.277062
    Oben rechts KachelX + 1 9089 KachelY 3201 -2.27019569 1.45345892 -130.072632 83.277062
    Unten links KachelX 9088 KachelY + 1 3202 -2.27029157 1.45344770 -130.078125 83.276419
    Unten rechts KachelX + 1 9089 KachelY + 1 3202 -2.27019569 1.45344770 -130.072632 83.276419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45345892-1.45344770) × R
    1.12200000002005e-05 × 6371000     		dl = 71.4826200012775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45345892-1.45344770) × R
    1.12200000002005e-05 × 6371000     		dr = 71.4826200012775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27029157--2.27019569) × cos(1.45345892) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.117068340540769 × 6371000     		do = 71.511369080426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27029157--2.27019569) × cos(1.45344770) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.117079483383123 × 6371000     		du = 71.5181757021691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45345892)-sin(1.45344770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.117068340540769-0.117079483383123)×R²
    abs(-2.27019569--2.27029157)×1.11428423536231e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.11428423536231e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.11428423536231e-05×40589641000000     		ar = 5112.06329928896m²