Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 9085 / 4685
↖ ↑ ↗
← N 82.252078°
W130.094605°		 ← 82.35 m → N 82.252078°
W130.089111°		 →
↑
82.38 m
↓
↑
82.38 m
↓
N 82.251337°
W130.094605°		 ← 82.36 m →
6 784 m²		 N 82.251337°
W130.089111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138633728027344 y=0.0714950561523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138633728027344 × 216)
    floor (0.138633728027344 × 65536)
    floor (9085.5)     		tx = 9085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0714950561523438 × 216)
    floor (0.0714950561523438 × 65536)
    floor (4685.5)     		ty = 4685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9085 / 4685 ti = "16/9085/4685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9085/4685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9085 ÷ 216
    9085 ÷ 65536     		x = 0.138626098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4685 ÷ 216
    4685 ÷ 65536     		y = 0.0714874267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138626098632812 × 2 - 1) × π
    -0.722747802734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27057919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0714874267578125 × 2 - 1) × π
    0.857025146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69242390406007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27057919} λ = -2.27057919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69242390406007))-π/2
    2×atan(14.7674274010931)-π/2
    2×1.50318294689667-π/2
    3.00636589379334-1.57079632675     		φ = 1.43556957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27057919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.094605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43556957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.252078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9085 KachelY 4685 -2.27057919 1.43556957 -130.094605 82.252078
    Oben rechts KachelX + 1 9086 KachelY 4685 -2.27048331 1.43556957 -130.089111 82.252078
    Unten links KachelX 9085 KachelY + 1 4686 -2.27057919 1.43555664 -130.094605 82.251337
    Unten rechts KachelX + 1 9086 KachelY + 1 4686 -2.27048331 1.43555664 -130.089111 82.251337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43556957-1.43555664) × R
    1.29300000000221e-05 × 6371000     		dl = 82.3770300001407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43556957-1.43555664) × R
    1.29300000000221e-05 × 6371000     		dr = 82.3770300001407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27057919--2.27048331) × cos(1.43556957) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.13481500115512 × 6371000     		do = 82.3519429817527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27057919--2.27048331) × cos(1.43555664) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.134827813103119 × 6371000     		du = 82.3597691791496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43556957)-sin(1.43555664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13481500115512-0.134827813103119)×R²
    abs(-2.27048331--2.27057919)×1.28119479990974e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.28119479990974e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.28119479990974e-05×40589641000000     		ar = 6784.2308269425m²