Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 9084 / 4684
↖ ↑ ↗
← N 82.252818°
W130.100098°		 ← 82.34 m → N 82.252818°
W130.094605°		 →
↑
82.31 m
↓
↑
82.31 m
↓
N 82.252078°
W130.100098°		 ← 82.34 m →
6 778 m²		 N 82.252078°
W130.094605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138618469238281 y=0.0714797973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138618469238281 × 216)
    floor (0.138618469238281 × 65536)
    floor (9084.5)     		tx = 9084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0714797973632812 × 216)
    floor (0.0714797973632812 × 65536)
    floor (4684.5)     		ty = 4684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9084 / 4684 ti = "16/9084/4684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9084/4684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9084 ÷ 216
    9084 ÷ 65536     		x = 0.13861083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4684 ÷ 216
    4684 ÷ 65536     		y = 0.07147216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13861083984375 × 2 - 1) × π
    -0.7227783203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.27067506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07147216796875 × 2 - 1) × π
    0.8570556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.69251977785931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27067506} λ = -2.27067506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69251977785931))-π/2
    2×atan(14.7688432783348)-π/2
    2×1.50318940920303-π/2
    3.00637881840606-1.57079632675     		φ = 1.43558249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27067506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.100098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43558249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.252818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9084 KachelY 4684 -2.27067506 1.43558249 -130.100098 82.252818
    Oben rechts KachelX + 1 9085 KachelY 4684 -2.27057919 1.43558249 -130.094605 82.252818
    Unten links KachelX 9084 KachelY + 1 4685 -2.27067506 1.43556957 -130.100098 82.252078
    Unten rechts KachelX + 1 9085 KachelY + 1 4685 -2.27057919 1.43556957 -130.094605 82.252078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43558249-1.43556957) × R
    1.29200000000829e-05 × 6371000     		dl = 82.3133200005279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43558249-1.43556957) × R
    1.29200000000829e-05 × 6371000     		dr = 82.3133200005279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27067506--2.27057919) × cos(1.43558249) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134802199093307 × 6371000     		do = 82.3355345752952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27067506--2.27057919) × cos(1.43556957) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.13481500115512 × 6371000     		du = 82.3433539180813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43558249)-sin(1.43556957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134802199093307-0.13481500115512)×R²
    abs(-2.27057919--2.27067506)×1.28020618128943e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.28020618128943e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.28020618128943e-05×40589641000000     		ar = 6777.63302306239m²