Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9082 / 26297
↖ ↑ ↗
← S 73.000121°
W 80.222168°		 ← 357.15 m → S 73.000121°
W 80.211182°		 →
↑
357.16 m
↓
↑
357.16 m
↓
S 73.003333°
W 80.222168°		 ← 357.09 m →
127 548 m²		 S 73.003333°
W 80.211182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277175903320312 y=0.802536010742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277175903320312 × 215)
    floor (0.277175903320312 × 32768)
    floor (9082.5)     		tx = 9082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802536010742188 × 215)
    floor (0.802536010742188 × 32768)
    floor (26297.5)     		ty = 26297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9082 / 26297 ti = "15/9082/26297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9082/26297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9082 ÷ 215
    9082 ÷ 32768     		x = 0.27716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26297 ÷ 215
    26297 ÷ 32768     		y = 0.802520751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.4456787109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40014096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802520751953125 × 2 - 1) × π
    -0.60504150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.90079394373447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40014096} λ = -1.40014096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90079394373447))-π/2
    2×atan(0.149449917282097)-π/2
    2×0.148351926036606-π/2
    0.296703852073211-1.57079632675     		φ = -1.27409247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40014096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.222168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27409247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.000121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9082 KachelY 26297 -1.40014096 -1.27409247 -80.222168 -73.000121
    Oben rechts KachelX + 1 9083 KachelY 26297 -1.39994922 -1.27409247 -80.211182 -73.000121
    Unten links KachelX 9082 KachelY + 1 26298 -1.40014096 -1.27414853 -80.222168 -73.003333
    Unten rechts KachelX + 1 9083 KachelY + 1 26298 -1.39994922 -1.27414853 -80.211182 -73.003333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27409247--1.27414853) × R
    5.60599999999134e-05 × 6371000     		dl = 357.158259999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27409247--1.27414853) × R
    5.60599999999134e-05 × 6371000     		dr = 357.158259999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40014096--1.39994922) × cos(-1.27409247) × R
    0.000191739999999996 × 0.292369681139008 × 6371000     		do = 357.151651117003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40014096--1.39994922) × cos(-1.27414853) × R
    0.000191739999999996 × 0.292316070200316 × 6371000     		du = 357.086161305621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27409247)-sin(-1.27414853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292369681139008-0.292316070200316)×R²
    abs(-1.39994922--1.40014096)×5.36109386922723e-05×R²
    0.000191739999999996×5.36109386922723e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.36109386922723e-05×40589641000000     		ar = 127547.967189142m²