Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9082 / 26282
↖ ↑ ↗
← S 72.951874°
W 80.222168°		 ← 358.14 m → S 72.951874°
W 80.211182°		 →
↑
358.11 m
↓
↑
358.11 m
↓
S 72.955095°
W 80.222168°		 ← 358.07 m →
128 241 m²		 S 72.955095°
W 80.211182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277175903320312 y=0.802078247070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277175903320312 × 215)
    floor (0.277175903320312 × 32768)
    floor (9082.5)     		tx = 9082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802078247070312 × 215)
    floor (0.802078247070312 × 32768)
    floor (26282.5)     		ty = 26282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9082 / 26282 ti = "15/9082/26282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9082/26282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9082 ÷ 215
    9082 ÷ 32768     		x = 0.27716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26282 ÷ 215
    26282 ÷ 32768     		y = 0.80206298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.4456787109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40014096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80206298828125 × 2 - 1) × π
    -0.6041259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89791772975726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40014096} λ = -1.40014096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89791772975726))-π/2
    2×atan(0.149880385986369)-π/2
    2×0.148772963636858-π/2
    0.297545927273716-1.57079632675     		φ = -1.27325040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40014096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.222168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27325040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.951874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9082 KachelY 26282 -1.40014096 -1.27325040 -80.222168 -72.951874
    Oben rechts KachelX + 1 9083 KachelY 26282 -1.39994922 -1.27325040 -80.211182 -72.951874
    Unten links KachelX 9082 KachelY + 1 26283 -1.40014096 -1.27330661 -80.222168 -72.955095
    Unten rechts KachelX + 1 9083 KachelY + 1 26283 -1.39994922 -1.27330661 -80.211182 -72.955095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27325040--1.27330661) × R
    5.620999999989e-05 × 6371000     		dl = 358.113909999299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27325040--1.27330661) × R
    5.620999999989e-05 × 6371000     		dr = 358.113909999299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40014096--1.39994922) × cos(-1.27325040) × R
    0.000191739999999996 × 0.293174853453641 × 6371000     		do = 358.135229922044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40014096--1.39994922) × cos(-1.27330661) × R
    0.000191739999999996 × 0.293121112923127 × 6371000     		du = 358.069581804462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27325040)-sin(-1.27330661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293174853453641-0.293121112923127)×R²
    abs(-1.39994922--1.40014096)×5.37405305133243e-05×R²
    0.000191739999999996×5.37405305133243e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.37405305133243e-05×40589641000000     		ar = 128241.452777381m²