Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9081 / 26283
↖ ↑ ↗
← S 72.955095°
W 80.233154°		 ← 358.09 m → S 72.955095°
W 80.222168°		 →
↑
358.05 m
↓
↑
358.05 m
↓
S 72.958315°
W 80.233154°		 ← 358.02 m →
128 202 m²		 S 72.958315°
W 80.222168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277145385742188 y=0.802108764648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277145385742188 × 215)
    floor (0.277145385742188 × 32768)
    floor (9081.5)     		tx = 9081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802108764648438 × 215)
    floor (0.802108764648438 × 32768)
    floor (26283.5)     		ty = 26283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9081 / 26283 ti = "15/9081/26283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9081/26283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9081 ÷ 215
    9081 ÷ 32768     		x = 0.277130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26283 ÷ 215
    26283 ÷ 32768     		y = 0.802093505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.44573974609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40033271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802093505859375 × 2 - 1) × π
    -0.60418701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89810947735574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40033271} λ = -1.40033271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89810947735574))-π/2
    2×atan(0.149851649537458)-π/2
    2×0.148744858426017-π/2
    0.297489716852034-1.57079632675     		φ = -1.27330661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40033271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.233154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27330661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.955095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9081 KachelY 26283 -1.40033271 -1.27330661 -80.233154 -72.955095
    Oben rechts KachelX + 1 9082 KachelY 26283 -1.40014096 -1.27330661 -80.222168 -72.955095
    Unten links KachelX 9081 KachelY + 1 26284 -1.40033271 -1.27336281 -80.233154 -72.958315
    Unten rechts KachelX + 1 9082 KachelY + 1 26284 -1.40014096 -1.27336281 -80.222168 -72.958315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27330661--1.27336281) × R
    5.62000000001728e-05 × 6371000     		dl = 358.050200001101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27330661--1.27336281) × R
    5.62000000001728e-05 × 6371000     		dr = 358.050200001101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40033271--1.40014096) × cos(-1.27330661) × R
    0.000191749999999935 × 0.293121112923127 × 6371000     		do = 358.088256550453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40033271--1.40014096) × cos(-1.27336281) × R
    0.000191749999999935 × 0.293067381027397 × 6371000     		du = 358.022615557652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27330661)-sin(-1.27336281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293121112923127-0.293067381027397)×R²
    abs(-1.40014096--1.40033271)×5.37318957306576e-05×R²
    0.000191749999999935×5.37318957306576e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.37318957306576e-05×40589641000000     		ar = 128201.820524498m²