Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9081 / 26152
↖ ↑ ↗
← S 72.528129°
W 80.233154°		 ← 366.78 m → S 72.528129°
W 80.222168°		 →
↑
366.78 m
↓
↑
366.78 m
↓
S 72.531428°
W 80.233154°		 ← 366.71 m →
134 515 m²		 S 72.531428°
W 80.222168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277145385742188 y=0.798110961914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277145385742188 × 215)
    floor (0.277145385742188 × 32768)
    floor (9081.5)     		tx = 9081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798110961914062 × 215)
    floor (0.798110961914062 × 32768)
    floor (26152.5)     		ty = 26152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9081 / 26152 ti = "15/9081/26152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9081/26152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9081 ÷ 215
    9081 ÷ 32768     		x = 0.277130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26152 ÷ 215
    26152 ÷ 32768     		y = 0.798095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.44573974609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40033271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798095703125 × 2 - 1) × π
    -0.59619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.87299054195483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40033271} λ = -1.40033271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87299054195483))-π/2
    2×atan(0.153663437041983)-π/2
    2×0.152470831357395-π/2
    0.304941662714789-1.57079632675     		φ = -1.26585466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40033271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.233154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26585466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.528129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9081 KachelY 26152 -1.40033271 -1.26585466 -80.233154 -72.528129
    Oben rechts KachelX + 1 9082 KachelY 26152 -1.40014096 -1.26585466 -80.222168 -72.528129
    Unten links KachelX 9081 KachelY + 1 26153 -1.40033271 -1.26591223 -80.233154 -72.531428
    Unten rechts KachelX + 1 9082 KachelY + 1 26153 -1.40014096 -1.26591223 -80.222168 -72.531428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26585466--1.26591223) × R
    5.75700000000623e-05 × 6371000     		dl = 366.778470000397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26585466--1.26591223) × R
    5.75700000000623e-05 × 6371000     		dr = 366.778470000397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40033271--1.40014096) × cos(-1.26585466) × R
    0.000191749999999935 × 0.300237533748458 × 6371000     		do = 366.781955550192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40033271--1.40014096) × cos(-1.26591223) × R
    0.000191749999999935 × 0.300182619273526 × 6371000     		du = 366.714869872222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26585466)-sin(-1.26591223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300237533748458-0.300182619273526)×R²
    abs(-1.40014096--1.40033271)×5.49144749323327e-05×R²
    0.000191749999999935×5.49144749323327e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.49144749323327e-05×40589641000000     		ar = 134515.421726463m²