Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9081 / 25657
↖ ↑ ↗
← S 70.819422°
W 80.233154°		 ← 401.37 m → S 70.819422°
W 80.222168°		 →
↑
401.31 m
↓
↑
401.31 m
↓
S 70.823031°
W 80.233154°		 ← 401.29 m →
161 057 m²		 S 70.823031°
W 80.222168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277145385742188 y=0.783004760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277145385742188 × 215)
    floor (0.277145385742188 × 32768)
    floor (9081.5)     		tx = 9081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783004760742188 × 215)
    floor (0.783004760742188 × 32768)
    floor (25657.5)     		ty = 25657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9081 / 25657 ti = "15/9081/25657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9081/25657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9081 ÷ 215
    9081 ÷ 32768     		x = 0.277130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25657 ÷ 215
    25657 ÷ 32768     		y = 0.782989501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.44573974609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40033271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782989501953125 × 2 - 1) × π
    -0.56597900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77807548070712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40033271} λ = -1.40033271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77807548070712))-π/2
    2×atan(0.168963007135803)-π/2
    2×0.167382119224761-π/2
    0.334764238449523-1.57079632675     		φ = -1.23603209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40033271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.233154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23603209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.819422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9081 KachelY 25657 -1.40033271 -1.23603209 -80.233154 -70.819422
    Oben rechts KachelX + 1 9082 KachelY 25657 -1.40014096 -1.23603209 -80.222168 -70.819422
    Unten links KachelX 9081 KachelY + 1 25658 -1.40033271 -1.23609508 -80.233154 -70.823031
    Unten rechts KachelX + 1 9082 KachelY + 1 25658 -1.40014096 -1.23609508 -80.222168 -70.823031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23603209--1.23609508) × R
    6.2989999999985e-05 × 6371000     		dl = 401.309289999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23603209--1.23609508) × R
    6.2989999999985e-05 × 6371000     		dr = 401.309289999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40033271--1.40014096) × cos(-1.23603209) × R
    0.000191749999999935 × 0.328546503537234 × 6371000     		do = 401.365304171213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40033271--1.40014096) × cos(-1.23609508) × R
    0.000191749999999935 × 0.328487009599269 × 6371000     		du = 401.292624041458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23603209)-sin(-1.23609508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328546503537234-0.328487009599269)×R²
    abs(-1.40014096--1.40033271)×5.94939379649495e-05×R²
    0.000191749999999935×5.94939379649495e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.94939379649495e-05×40589641000000     		ar = 161057.041694802m²