Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9081 / 12103
↖ ↑ ↗
← S 64.839597°
E 19.533691°		 ← 1 038.77 m → S 64.839597°
E 19.555664°		 →
↑
1 038.54 m
↓
↑
1 038.54 m
↓
S 64.848937°
E 19.533691°		 ← 1 038.41 m →
1 078 613 m²		 S 64.848937°
E 19.555664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554290771484375 y=0.738739013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554290771484375 × 214)
    floor (0.554290771484375 × 16384)
    floor (9081.5)     		tx = 9081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738739013671875 × 214)
    floor (0.738739013671875 × 16384)
    floor (12103.5)     		ty = 12103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9081 / 12103 ti = "14/9081/12103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9081/12103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9081 ÷ 214
    9081 ÷ 16384     		x = 0.55426025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12103 ÷ 214
    12103 ÷ 16384     		y = 0.73870849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55426025390625 × 2 - 1) × π
    0.1085205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34092723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73870849609375 × 2 - 1) × π
    -0.4774169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49984971531232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34092723} λ = 0.34092723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49984971531232))-π/2
    2×atan(0.223163695714738)-π/2
    2×0.219565935657276-π/2
    0.439131871314552-1.57079632675     		φ = -1.13166446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34092723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.533691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13166446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.839597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9081 KachelY 12103 0.34092723 -1.13166446 19.533691 -64.839597
    Oben rechts KachelX + 1 9082 KachelY 12103 0.34131073 -1.13166446 19.555664 -64.839597
    Unten links KachelX 9081 KachelY + 1 12104 0.34092723 -1.13182747 19.533691 -64.848937
    Unten rechts KachelX + 1 9082 KachelY + 1 12104 0.34131073 -1.13182747 19.555664 -64.848937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13166446--1.13182747) × R
    0.000163009999999852 × 6371000     		dl = 1038.53670999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13166446--1.13182747) × R
    0.000163009999999852 × 6371000     		dr = 1038.53670999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34092723-0.34131073) × cos(-1.13166446) × R
    0.000383499999999981 × 0.425153859697695 × 6371000     		do = 1038.76928459134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34092723-0.34131073) × cos(-1.13182747) × R
    0.000383499999999981 × 0.425006310260096 × 6371000     		du = 1038.40878022277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13166446)-sin(-1.13182747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425153859697695-0.425006310260096)×R²
    abs(0.34131073-0.34092723)×0.000147549437599093×R²
    0.000383499999999981×0.000147549437599093×6371000²
    0.000383499999999981×0.000147549437599093×40589641000000     		ar = 1078612.83914565m²