Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9080 / 25641
↖ ↑ ↗
← S 70.761586°
W 80.244141°		 ← 402.53 m → S 70.761586°
W 80.233154°		 →
↑
402.46 m
↓
↑
402.46 m
↓
S 70.765205°
W 80.244141°		 ← 402.46 m →
161 986 m²		 S 70.765205°
W 80.233154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277114868164062 y=0.782516479492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277114868164062 × 215)
    floor (0.277114868164062 × 32768)
    floor (9080.5)     		tx = 9080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782516479492188 × 215)
    floor (0.782516479492188 × 32768)
    floor (25641.5)     		ty = 25641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9080 / 25641 ti = "15/9080/25641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9080/25641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9080 ÷ 215
    9080 ÷ 32768     		x = 0.277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25641 ÷ 215
    25641 ÷ 32768     		y = 0.782501220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.44580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40052446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782501220703125 × 2 - 1) × π
    -0.56500244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77500751913144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40052446} λ = -1.40052446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77500751913144))-π/2
    2×atan(0.169482175135928)-π/2
    2×0.16788683405686-π/2
    0.335773668113719-1.57079632675     		φ = -1.23502266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40052446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.244141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23502266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.761586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9080 KachelY 25641 -1.40052446 -1.23502266 -80.244141 -70.761586
    Oben rechts KachelX + 1 9081 KachelY 25641 -1.40033271 -1.23502266 -80.233154 -70.761586
    Unten links KachelX 9080 KachelY + 1 25642 -1.40052446 -1.23508583 -80.244141 -70.765205
    Unten rechts KachelX + 1 9081 KachelY + 1 25642 -1.40033271 -1.23508583 -80.233154 -70.765205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23502266--1.23508583) × R
    6.31700000000013e-05 × 6371000     		dl = 402.456070000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23502266--1.23508583) × R
    6.31700000000013e-05 × 6371000     		dr = 402.456070000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40052446--1.40033271) × cos(-1.23502266) × R
    0.000191749999999935 × 0.32949973030425 × 6371000     		do = 402.52980340395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40052446--1.40033271) × cos(-1.23508583) × R
    0.000191749999999935 × 0.329440087333239 × 6371000     		du = 402.456941209576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23502266)-sin(-1.23508583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32949973030425-0.329440087333239)×R²
    abs(-1.40033271--1.40052446)×5.96429710111868e-05×R²
    0.000191749999999935×5.96429710111868e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.96429710111868e-05×40589641000000     		ar = 161985.900873424m²