Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9080 / 25639
↖ ↑ ↗
← S 70.754344°
W 80.244141°		 ← 402.68 m → S 70.754344°
W 80.233154°		 →
↑
402.65 m
↓
↑
402.65 m
↓
S 70.757966°
W 80.244141°		 ← 402.60 m →
162 122 m²		 S 70.757966°
W 80.233154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277114868164062 y=0.782455444335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277114868164062 × 215)
    floor (0.277114868164062 × 32768)
    floor (9080.5)     		tx = 9080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782455444335938 × 215)
    floor (0.782455444335938 × 32768)
    floor (25639.5)     		ty = 25639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9080 / 25639 ti = "15/9080/25639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9080/25639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9080 ÷ 215
    9080 ÷ 32768     		x = 0.277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25639 ÷ 215
    25639 ÷ 32768     		y = 0.782440185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.44580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40052446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782440185546875 × 2 - 1) × π
    -0.56488037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77462402393448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40052446} λ = -1.40052446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77462402393448))-π/2
    2×atan(0.169547183200406)-π/2
    2×0.167950026278519-π/2
    0.335900052557038-1.57079632675     		φ = -1.23489627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40052446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.244141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23489627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.754344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9080 KachelY 25639 -1.40052446 -1.23489627 -80.244141 -70.754344
    Oben rechts KachelX + 1 9081 KachelY 25639 -1.40033271 -1.23489627 -80.233154 -70.754344
    Unten links KachelX 9080 KachelY + 1 25640 -1.40052446 -1.23495947 -80.244141 -70.757966
    Unten rechts KachelX + 1 9081 KachelY + 1 25640 -1.40033271 -1.23495947 -80.233154 -70.757966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23489627--1.23495947) × R
    6.3200000000041e-05 × 6371000     		dl = 402.647200000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23489627--1.23495947) × R
    6.3200000000041e-05 × 6371000     		dr = 402.647200000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40052446--1.40033271) × cos(-1.23489627) × R
    0.000191749999999935 × 0.32961905950718 × 6371000     		do = 402.675580641921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40052446--1.40033271) × cos(-1.23495947) × R
    0.000191749999999935 × 0.329559390843107 × 6371000     		du = 402.602687059893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23489627)-sin(-1.23495947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32961905950718-0.329559390843107)×R²
    abs(-1.40033271--1.40052446)×5.96686640738087e-05×R²
    0.000191749999999935×5.96686640738087e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.96686640738087e-05×40589641000000     		ar = 162121.519909178m²