Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 908 / 599
↖ ↑ ↗
← N 59.623325°
W 20.390625°		 ← 9 884.06 m → N 59.623325°
W 20.214844°		 →
↑
9 897.16 m
↓
↑
9 897.16 m
↓
N 59.534318°
W 20.390625°		 ← 9 910.24 m →
97 953 672 m²		 N 59.534318°
W 20.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443603515625 y=0.292724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443603515625 × 211)
    floor (0.443603515625 × 2048)
    floor (908.5)     		tx = 908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292724609375 × 211)
    floor (0.292724609375 × 2048)
    floor (599.5)     		ty = 599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 908 / 599 ti = "11/908/599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/908/599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 908 ÷ 211
    908 ÷ 2048     		x = 0.443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 599 ÷ 211
    599 ÷ 2048     		y = 0.29248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443359375 × 2 - 1) × π
    -0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29248046875 × 2 - 1) × π
    0.4150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30388366966553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35588354} λ = -0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30388366966553))-π/2
    2×atan(3.68357471143775)-π/2
    2×1.30570983145353-π/2
    2.61141966290706-1.57079632675     		φ = 1.04062334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04062334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.623325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 908 KachelY 599 -0.35588354 1.04062334 -20.390625 59.623325
    Oben rechts KachelX + 1 909 KachelY 599 -0.35281558 1.04062334 -20.214844 59.623325
    Unten links KachelX 908 KachelY + 1 600 -0.35588354 1.03906987 -20.390625 59.534318
    Unten rechts KachelX + 1 909 KachelY + 1 600 -0.35281558 1.03906987 -20.214844 59.534318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04062334-1.03906987) × R
    0.00155346999999995 × 6371000     		dl = 9897.15736999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04062334-1.03906987) × R
    0.00155346999999995 × 6371000     		dr = 9897.15736999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35588354--0.35281558) × cos(1.04062334) × R
    0.00306795999999998 × 0.505682587869946 × 6371000     		do = 9884.05828998525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35588354--0.35281558) × cos(1.03906987) × R
    0.00306795999999998 × 0.507022186184862 × 6371000     		du = 9910.24204269376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04062334)-sin(1.03906987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505682587869946-0.507022186184862)×R²
    abs(-0.35281558--0.35588354)×0.00133959831491526×R²
    0.00306795999999998×0.00133959831491526×6371000²
    0.00306795999999998×0.00133959831491526×40589641000000     		ar = 97953672.40984m²