Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 908 / 438
↖ ↑ ↗
← N 71.187754°
W 20.390625°		 ← 6 302.95 m → N 71.187754°
W 20.214844°		 →
↑
6 312.07 m
↓
↑
6 312.07 m
↓
N 71.130988°
W 20.390625°		 ← 6 321.28 m →
39 842 505 m²		 N 71.130988°
W 20.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443603515625 y=0.214111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443603515625 × 211)
    floor (0.443603515625 × 2048)
    floor (908.5)     		tx = 908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214111328125 × 211)
    floor (0.214111328125 × 2048)
    floor (438.5)     		ty = 438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 908 / 438 ti = "11/908/438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/908/438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 908 ÷ 211
    908 ÷ 2048     		x = 0.443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 438 ÷ 211
    438 ÷ 2048     		y = 0.2138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443359375 × 2 - 1) × π
    -0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2138671875 × 2 - 1) × π
    0.572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79782548335059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35588354} λ = -0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79782548335059))-π/2
    2×atan(6.03650669786435)-π/2
    2×1.40662850987461-π/2
    2.81325701974922-1.57079632675     		φ = 1.24246069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24246069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.187754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 908 KachelY 438 -0.35588354 1.24246069 -20.390625 71.187754
    Oben rechts KachelX + 1 909 KachelY 438 -0.35281558 1.24246069 -20.214844 71.187754
    Unten links KachelX 908 KachelY + 1 439 -0.35588354 1.24146994 -20.390625 71.130988
    Unten rechts KachelX + 1 909 KachelY + 1 439 -0.35281558 1.24146994 -20.214844 71.130988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24246069-1.24146994) × R
    0.000990749999999929 × 6371000     		dl = 6312.06824999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24246069-1.24146994) × R
    0.000990749999999929 × 6371000     		dr = 6312.06824999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35588354--0.35281558) × cos(1.24246069) × R
    0.00306795999999998 × 0.322468022238295 × 6371000     		do = 6302.95130762796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35588354--0.35281558) × cos(1.24146994) × R
    0.00306795999999998 × 0.323405688309846 × 6371000     		du = 6321.27890349553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24246069)-sin(1.24146994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322468022238295-0.323405688309846)×R²
    abs(-0.35281558--0.35588354)×0.000937666071550436×R²
    0.00306795999999998×0.000937666071550436×6371000²
    0.00306795999999998×0.000937666071550436×40589641000000     		ar = 39842504.6072303m²